渐近线

当曲线上一点 $M$ 沿曲线无限远离原点时，如果 $M$ 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

例如，直线 $y=\frac{b}{a}x$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线，因为双曲线上的点 $M$ 到直线 $y=\frac{b}{a}x$ 的距离 $MQ ；当 MN 无限趋近于0时， MQ 也无限趋近于0。所以按照定义，直线 y=\frac{b}{a}x 是该双曲线的渐近线。同理，直线 y=-\frac{b}{a}x 也是该双曲线的渐近线。$

对于 $F\left(x,y \right)=0$ 来说，如果当 $x \rightarrow a$ 时，有 $y \rightarrow \infty$ ，就把 $x=a$ 叫做 $F \left(x,y \right)=0$ 的垂直渐近线；如果当 $x \rightarrow \infty$ 时，有 $y \rightarrow b$ ，就把 $y=b$ 叫做 $F \left(x,y \right)=0$ 的水平渐近线。例如， $y=3$ 是曲线 $xy=3x+2$ 的水平渐近线。

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}=a$ 存在，且极限 $\lim_{x \to + \infty} \left \left (x \right) -ax \right =b$ 也存在，那么曲线 $y=f \left(x \right)$ 具有渐近线 $y=ax+1$ 。

例：求 $y=\frac{x^2}{1+x}$ 的渐近线。

解：(1) $x=-1$ 为其垂直渐近线。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{f \left(x \right)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{x}{1+x}$ ，即 $a=1$ ；

$=\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{1+x}=-1$ ，即 $b=-1$ ；

所以 $y=x-1$ 也是其渐近线。

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