波函数

波函数是量子力学中用来描述粒子的德布罗意波的函数。

波函数用 $\Psi (\vec{x},t)$ 表示，通常是一个复函数。它满足如下的所谓薛定谔方程：

i\hbar \frac{\partial \Psi(\vec{x},t)}{\partial t}=\hat{H}\Psi(\vec{x},t)

其中 $\hat{H}$ 是哈密顿算符。并且 $\hat{H}=-\frac{\hbar ^2}{2\mu}\nabla ^2+U$

U是系统的势能。

波函数的概率诠释（或称统计诠释）

波函数 $\Psi (\vec{x},t)$ 是概率波。其模的平方 $\vert\Psi (\vec{x},t)\vert^2\,$ 代表粒子在该处出现的概率密度。

既然是概率波，那么它当然具有归一性。即在全空间的积分 $\int\vert\Psi (\vec{x},t)\vert^2\,d^3\,x=1$

然而大多数情况下由薛定谔方程求出的波函数并不归一。所以要在前面乘上一个系数N，即 $N\Psi (\vec{x},t)$ ，然后把它带入归一化条件 $N^2\,\int\vert\Psi (\vec{x},t)\vert^2\,d^3\,x=1$ ,解出N。至此，得到的 $N\Psi (\vec{x},t)$ 才是归一化之后的波函数。注意N并不唯一。

波函数不是买彩票的中奖几率，彩票的中奖几率是线性相加的，买两张彩票，中奖几率就变为2倍，买N张彩票，中奖几率就是N倍。波函数具有相干性，具体地说，两个波函数叠加，概率并非变成 $1^2+1^2=2$ 倍，而是在有的地方变成 $(1+1)^2=4$ 倍，有的地方变成 $(1-1)^2=0$ ，具体取决于两个波函数的相位差。联想一下光学中的杨氏双缝实验，不难理解这个问题。

波函数的本征值和本征态

在量子力学中，可观测的力学量A以算符 $\hat{A}$ 的形式出现。 $\hat{A}$ 代表对波函数的一种运算。

例如，在坐标表象下，动量算符 $\hat{\vec{p}}=-i\hbar\nabla$

如下方程称为力学量A的本征方程：

$\hat{A}\psi=A\psi$

对应的A称为力学量 $\hat{A}$ 的本征值， $\psi$ 称为力学量 $\hat{A}$ 的本征态。如果测量位于 $\hat{A}$ 的本征态 $\psi$ 上的力学量A，那么它的值是唯一确定的。

态叠加原理

如果 $\psi_{1}$ 是体系的一个本征态，对应的本征值为 $A_1$ ， $\psi_{2}$ 也是体系的一个本征态，对应的本征值为 $A_2$ ，那么 $\psi=C_{1}\psi_{1}+C_{2}\psi_{2}$ 是体系一个可能的存在状态，如果在这个状态下对力学量A进行测量，测量到的A值既有可能是 $A_{1}$ 也有可能是 $A_{2}$ ，相应的概率之比为 $\frac{\vert C_{1}\vert ^2}{\vert C_{2}
\vert ^2}$ 。A的平均值为 $\langle A\rangle=\int\psi^{*}\hat{A}\psi d^{3}x$ 。或者采用狄拉克符号记为 $\langle\psi |\hat{A}|\psi\rangle$

定态问题

在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符 $\hat{H}$ 不是时间的函数的情况。这时， $\Psi (\vec{x},t)$ 可以分解成一个只与空间有关的函数和一个只与时间有关的函数乘积，即 $\Psi (\vec{x},t)=\psi (\vec{x})f(t)$ 。把它带入薛定谔方程，就会得到 $f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}$ 。而 $\psi(\vec{x})$ 则满足如下方程：

$\hat{H}\psi(\vec{x})=E\psi(\vec{x})$

称为能量本征方程。

参看

函數 | 量子力学

Gourt Home::Gourt :: 波函数

波函数的概率诠释（或称统计诠释）

波函数的本征值和本征态

态叠加原理

定态问题

参看