期望值

在概率和统计学中，一个随机变量的期望值（或期待值）是变量的输出值乘以其机率的總和，換句話說，期望值是該变量输出值的平均數。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

例如，美国赌场中经常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的几率都是相等的。赌注一般压在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以将相当于赌注35倍的奖金和原赌注拿回（总共是原赌注的36倍），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。因此，如果赌注是1美元的话，这场赌博的期望值是：( -1 × 37/38 ) + ( 35 × 1/38 ), 结果是 -0.0526。也就是说，平均起来每赌一次就会输掉5美分。

数学定义

如果X是在机率空间(Ω, P)中的一个随机变量，那么它的期望值 E(X) 的定义是：

\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X\, dP

并不是每一个随机变量都有期望值的，因为有的时候这个积分不存在。如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望值也相同。

如果 X 是一个离散的随机变量，输出值为 x₁, x₂, ...，和输出值相应的机率为p₁, p₂, ... （机率和为1）, 那么期望值 E(X) 是一个无限数列的和。

\operatorname{E}(X) = \sum_i p_i x_i

上面赌博的例子就是用这种方法求出期望值的。

如果X的机率分布存在一个相应的机率密度函数 f(x)，那么 X 的期望值可以计算为：

\operatorname{E}(X) = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx.

这种算法是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望值的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。

特性

期望值 E 是一个线形函数

\operatorname{E}(aX+bY)=a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y)

X 和 Y 为在同一机率空间的两个随机变量，a 和 b 为任意实数。

一般的说，一个随机变量的函数的期望值并不等于这个随机变量的期望值的函数。

\operatorname{E}(g(X)) = \int_{\Omega} g(X)\, dP \neq g(\operatorname{E}X),

在一般情况下，两个随机变量的积的期望值不等于这两个随机变量的期望值的积。特殊情况是当这两个随机变量是相互独立的时候（也就是说一个随机变量的输出不会影响另一个随机变量的输出）。

期望值的运用

在统计学中，当估算一个变量的期望值时，一个经常用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得数据的平均值来作为此变量的期望值的估计。

在概率分布中，期望值和方差或标准差是一种分布的重要特征。

在经典力学中，物体重心的算法与期望值的算法十分近似。

概率与统计

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