數字

這裏所指的數字是不同數位上的數字，表示不同民族在古代代表數的符號請參見数字系统一條。

數字或稱作數，是一種用來表示數的書寫符號。

在位置的數字系統中，它的值取決於它在所在的數的位置，和該數的進位制。例如3，在十進制的37中它代表的值是十進制的30；在八進制的23它只代表3這個數，是個位數字；八進制的37，雖然數字3所在的位置和十進制的37相同，但它代表的值是3×8=24。個位數字代表的值和該數字所表示的數相同。

數字的例子有十進制所有數字：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，還有用於更大的進位制上的英文字母，如十六進制便用上了A至F，二進制只用0和1。在一個進位制中，若底是整數，這個進位制的數最多要使用的數字是底的絕對值。

數字系統

數字（尤其是阿拉伯數字）可以進行一些數學遊戲如覆面算、蟲食算。

在數論上，有許多數列都借助數列的項的數字，例如哈沙德數、累進可除數和純元數等。它們會隨進位制的改變而改變性質及數列內的數。這些數列的實際用途不大，可算是趣味數學的重要部分。

数字分类

阿拉伯数字

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

罗马数字

I V X L C D M（依次为阿拉伯数字的1，5，10，50，100，500，1000）

漢字數字

包含大寫、小寫、花碼等數種系統，參見中文数字。

历史

参看自然数和零的地位的历史。

从木头和石头凿出的符木在史前时代就开始使用。石器时代文化，包括印第安人群体，使用符木进行马、奴隶的赌博、服务和贸易。

最早已知的符木出现于苏美尔帝国的废墟中，采用泥条，用坚硬的小棍压制，然后烘烤（泥版）。苏美尔人使用特异的60进制的系统，用于天文和其他计算。该系统被每个使用天文学的地中海国家所采纳并使用，包括希腊人，罗马人和埃及人。我们今天还在用它来数时间（分钟每小时），以及角度。

中国古代采用木制符木(算筹)来记数，个位百位万位等奇数位用纵筹，偶数位用横筹，零用空位表示。有时，军队和供给品采用质数的符木（算筹）。模算术（参看：大衍求一术，中国剩余定理）对于乘法很容易处理，但加法较困难。这使得模算术很适合军需品的计算。因为常规的筹算对于乘除处理较难一些。在现代，同样的模算术有时用于数字信号处理。

罗马帝国使用腊、纸草、和石头上的割符，大致遵从希腊人将字母赋予不同数字的习惯。罗马数字在直到1500年代位数表示法开始流行前在欧洲一直很常用。

中美洲的玛雅数字采用20或18为基数的系统，可能继承自奥尔梅克人，它包含了数位表示法和零这样的高级属性。他们将此用于高级的天文计算，包括高精度的太阳年长度和金星的轨道。

印加帝国采用结绳数字，使用打结的带颜色的绳子来记数。关于使用结和颜色来编码的知识被西班牙征服者于16世纪所摈弃，并因此失传，但是简单的结绳仪器今天仍在安第斯山区域使用。

有些权威认为数位算术随着中国的算盘的广泛使用而开始。最早的书面数位记录似乎是中国大约400年的算盘计算的结果。特别是，零由中国数学家在约932年正确的表述了，并且似乎是因为采用一个圆圈表示没有算盘珠子的那一位而产生的。

在印度，现代数位数字系统被传给阿拉伯人，可能是和天文表格一起，并被一位印度大使于773年带到巴格达。对于印度的数字系统的详细讨论，参看印度－阿拉伯数字和印度数字。

从印度出发，伊斯兰苏丹们和非洲的旺盛贸易将此数字系统的概念带到了开罗。阿拉伯数学家们将此系统推广到十进制分数，而阿尔－花剌子模于9世纪写下关于该系统的重要著作。随着12世纪该著作在西班牙被翻译和斐波那契的《计算书》的出版，该系统传入欧洲。在欧洲，完整的带零的印度系统是于12世纪由阿拉伯人导入。

二进制系统(基数为2)，由莱布尼兹在17世纪传播，他从中国听说这种系统，该系统由于20世纪计算机的应用而变得常用。

被使用的基数

十

十进制是今天最为常用的系统。它被视为因为人类具有十根手指而产生。

二十

玛雅文明和其它前哥伦布时期中美洲文明使用二十进制，可能是源于人的手指和脚趾总数。

八

基数8的系统（八进制）是北加利福尼亚的Yuki部落设计的，他们使用了手指间的间隔来数数。也有语言学证据显示青铜时代印欧人（多数欧洲和印度语言来源于此）可能用基数10的系统取代了基数8系统（或者一个只能数到8的系统）。证据是代表9的词，newm，根据一些历史学家推测来源于“新”（'new', newo-），这表示数字9是当时最近发明的，所以称为‘新数’（'new number'） (Mallory & Adams 1997年)。

九

涅涅茨语曾经使用基数9的系统（九进制），但在俄语的影响下转变为十进制。yúq一词最初表示9，但在俄语影响下变成了10的意思；所以在现在的涅涅茨，9现在是xasu-yúq，也就是“涅涅茨yúq”，而10就是yúq，但在东部方言中也作lúca-yúq, 也就是“俄语yúq”。

十二

基数12的系统（十二进制）曾经很流行，因为乘法和除法比十进制方便，而加法同样简单。12很有用，因为它有很多因子。它是1到4最小的公倍数。我们对十二有一个特殊的词“打”，并且使用12小时作为一个白天或者一个黑夜。十二进制可能来自于一只手除了拇指以外的四个手指的指节个数，它们曾被用来记数。

六十

基数为60的系统(六十进制)是苏美尔人和他们在美索不达米亚的继承者所使用的，今天还在我们的计时系统中存在（所以一小时有60分钟而一分钟有60秒）。60也有大量因子，包括前六个自然数。六十进制系统被认为是因为十进制和十二进制合并过程中产生的。中国历法中，六十进制的甲子系统用于表示年，每个60年循环中的年用两个符号代表，第一个符号是十进制的天干，第二个符号是是二进制的地支。两个符号在后续一年中同时前进一，这样同样的组合在60年后再现。该系统的第二个符号也和12个动物的生肖系统对应。

二

以2為基數的系統（二進制）的流行及應用主要是因為電子計算機的發明。以2為基數，也代表只有兩種變化：不是1就是0。最初的電子計算機以開關電路組成，只有兩種狀態：開（1）及關（0），並以此引伸作各種複雜的邏輯變化。而現今二進制亦普遍使用於數碼影音系統中。

位置系统详解

参看位置记法。

在基数b的位置记数系统(其中b是一个正自然数，叫做基数)，b个基本符号(或者叫数字)对应于包括0的最小b个自然数。要产生其他的数，符号在数中的位置要被用到。最后一位的符号用它本身的值，向左一位其值乘以b。

例如，在十进制系统中（基数10），数4327表示(4×10³) + (3×10²) + (2×10¹) + (7×10⁰)，注意10⁰ = 1。

一般来讲，若b是基底，我们在b进制系统中的数表示为a₁b^k + a₂b^k-1 + a₃b^k-2 + ... + a_k+1b⁰的形式，并按次序写下数字a₁a₂a₃ ... a_k+1。这些数字是0到b-1的自然数。

若一段文字（譬如这段文字）讨论多个基数，若有歧义时，基数(本身用十进制表示）用下标方式写在数的右边。除非有上下文说明，没有下标的数字视为十进制。通过使用一点（小数点）来将数字分成两组，就可以用位置系统来表示小数。例如，基数-2系统10.11表示1×2¹+ 0×2⁰ +1×2^-1 +1×2^-2 = 2.75。

一般来讲，b进制系统中的数有如下形式：

(a_na_{n-1}...a_1a_0.c_1c_2c_3...)_b = \sum_{k=0}^n a_kb^k + \sum_{k=1}^\infty c_kb^{-k}

数b^k和b^-k是相应数字的比重。

注意有一个数有一个终止或者循环当且仅当它是有理数；这不依赖于基数的选择。在一个进制中终止的数可以在另外一个有循环小数(thus 0.3₁₀ = 0.0100110011001...₂)。一个无理数在所有进制中不循环(无穷位不循环数字)。这样，例如二进制中，π = 3.1415926...₁₀可以写作不循环的11.001001000011111...₂。

若b=p是一个质数，可以定义其向左的扩展不停止的p进制数字；这些数字称为p进数(p-adic)。

进制转换

转换不同正整数进制的整数有一个简单算法，就是通过用目标基数作长除法；余数给出从最低位开始的“数字”。例如，1020304从10进制转到7进制：

1020304 / 7 = 145757 r 5
 145757 / 7 =  20822 r 3
  20822 / 7 =   2974 r 4
   2974 / 7 =    424 r 6
    424 / 7 =     60 r 4
     60 / 7 =      8 r 4
      8 / 7 =      1 r 1
      1 / 7 =      0 r 1   => 11446435

再如，10110111 从2进制到5进制：

10110111 / 101 = 100100 r 11  (3)
  100100 / 101 =    111 r  1  (1)
     111 / 101 =      1 r 10  (2)
       1 / 101 =      0 r  1  (1)  => 1213

转换一个“十进制”小数，可以用重复乘法，将整数部分作为“数字”。不幸的是有限小数不一定转换成为有限小数，例如0.1A4C从16进制转换到9进制：

0.1A4C × 9 = 0.ECAC
0.ECAC × 9 = 8.520C
0.520C × 9 = 2.E26C
0.E26C × 9 = 7.F5CC
0.F5CC × 9 = 8.A42C 
0.A42C × 9 = 5.C58C  => 0.082785...

一般化变长整数

更一般化的有一种记法(这里写作小头式)，例如a₀a₁a₂ 用作a₀ + a₁b₁ + a₂b₁b₂, etc.

参看

计算机数字格式
十亿
减法式记法
德尼数字 – 虚构的数字系统，来自电子游戏系列神秘岛
结绳记数印加数字系统
巴比伦数字 – 六十进制系统
黄金分割基数

参考

Georges Ifrah. The Universal History of Numbers : From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, 1999. ISBN 0471375683
D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison-Wesley. pp.194–213, "Positional Number Systems".
J.P. Mallory and D.Q. Adams, Encyclopedia of Indo-European Culture, Fitzroy Dearborn Publishers, London and Chicago, 1997.

外部连接

數字

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