数学当中的完全平方有两个含义：

• 当一个正整数是另外整数的平方，这个正整数可以写成n²的形式。
  • 例如:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... 参见平方数。
• 可以分解成其它表达式的算数表达式，例如：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²。（参见Square (algebra)）。

与魔幻平方是不同的。

用两个平方的差代表整数相乘

整数相乘可以完全的写成两个平方的差。

例如：

• $10\backslash times\; 10\; =\; 10^2\; -\; 0^2\; =\; 100\; -\; 0\; =\; 100$
• $9\backslash times\; 11\; =\; 10^2\; -\; 1^2\; =\; 100\; -\; 1\; =\; 99$
• $8\backslash times\; 12\; =\; 10^2\; -\; 2^2\; =\; 100\; -\; 4\; =\; 96$
• $7\backslash times\; 13\; =\; 10^2\; -\; 3^2\; =\; 100\; -\; 9\; =\; 91$

一般的，两个数的乘积等于这两个数和的平均值的平方减差的平均值的平方。

• $A\backslash times\; B\; =-\; [(A-B)/2^2$

这种关系的几何构造证明如下图：

The starting rectangle is A by B. 大平方是长边(A+B)/2，小平方是阴影部分长为|A-B|/2。

运用这种关系式，你可以you can multiply relatively large nearly equal numbers more quickly if you memorize a relatively small list of squares.

If you're multiplying an even by an odd, you can avoid "halves" by adjust one number, by requiring one more addition at the end

• $A\backslash times\; B\; =\; A\backslash times\; (B-1)\; +\; A$

Example:

• $27\backslash times\; 34\; =33+\; 27\; =-\; 3^2+\; 27\; =\; 900\; -\; 9\; +\; 27\; =\; 918$

参见

Perfect square | Cuadrado perfecto | Carré parfait | Quadrado perfeito | Popolni kvadrat