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代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。
代数不变量方法
这里的目标是取拓扑空间然后把它们进一步分成范畴或分类。该课题的旧称之一是组合拓扑，蕴含着将重点放在如何从更简单的空间构造空间X的意思。现在应用于代数拓扑的基本方法是通过代数不变量，把空间映射到不变量上，例如，通过一种保持空间的同胚关系的方式映射到群上。
实现这个的两个主要方法是通过基本群，或者更一般的同伦理论，和同调及上同调群。基本群给了我们关于拓扑空间结构的基本信息，但它们经常是非交换的，可能很难使用。（有限）单纯复形的基本群的确有有限表示。
另一方面来讲，同调和上同调群是可交换群，并且在许多重要情形下是有限生成的。有限生成交换群有完整的分类，并且特别易于使用。
同调的结果
通过使用有限生成可交换群可以立刻得出几个有用的结论。单纯复形的n-阶同调群的自由阶等于n-阶贝蒂数(Betti number),所以可以直接使用单纯复形的同调群来计算它的欧拉-庞家莱特证数。作为另外一个例子，闭流形的最高维的积分上同调群可以探测可定向性：该群同构于整数或者0，分别在流形可定向和不可定向时。这样，很多拓扑信息可以在给定拓扑空间的同调中找到。
在只定义在单纯复形的单纯同调之上，还可以使用光滑流形的微分结构来通过德拉姆上同调或Čech上同调或层上同调来研究定义在流形上的微分方程的可解性。德拉姆证明所有这些方法是相互关联的，并且对于闭可定向流形，通过单纯同调得出的贝蒂数和从德拉姆上同调导出的是一样的。
在范畴论中
一般来讲，所有代数几何的构造都是函子式的：概念范畴, 函子和自然变换起源于此。基本群，同调和上同调群不仅是两个拓扑空间同胚时的不变量；而且空间的连续映射可以导出所相关的群的一个群同态，而这些同态可以用于证明映射的不存在性（或者，更深入的，存在性）。
代数拓扑的问题
代数拓扑的经典应用包括：
- Brouwer不动点定理：每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。
- n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为"毛球定理"。)
- Borsuk-Ulam定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。
- 任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思，因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说，任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群；但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。
代数拓扑中最著名的未解决的几何问题是庞家莱猜想，它可能已经由Grigori Perelman所解决。同伦理论领域包含了很多悬疑，最著名的有表述球面的同伦群的正确方式。
参看
参考
- Allen Hatcher, Algebraic Topology , 剑桥大学出版社，剑桥，2002年。ISBN 0-521-79540-0. 现代的带几何特色的代数拓扑介绍。该书有免费PDF和PostScript格式免费下载，网址作者的主页。
- C. R. F. Maunder, Algebraic Topology (1970) Van Nostrand Reinhold, London ISBN 73-105346.
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