Dãy (toán)

Trong toán học, một dãy là một danh sách liệt kê các đối tượng sắp xếp có thứ tự; nghĩa là các phần tử nằm hoặc là trước hoặc là sau bất kỳ một phần tử nào khác. Một dãy A được coi là khác dãy B nếu một trong các điều kiện sau đây xãy ra:

A có lực lượng tập hợp hay có số lượng phần tử khác B
A có phần tử không thuộc B hay ngược lại
A có phần tử được xếp trong một thứ tự khác với B hay ngược lại

Giới thiệu

Dãy số có thể được tạo dựng qua quá trình thu thập dữ liệu. Các dữ liệu thu thập có thể gồm nhiều số từ x₁, x₂, ...x_n. Tập hợp các số này có thứ tự, nghĩa là có số đầu tiên (x₁), số thứ 2 (x₂) và các số tiếp theo.

Dãy số thường được ký hiệu:

(x_n)_{n \ge 1 }

với x_n là số thứ n.

Biên của dãy

Cho dãy

(x_n)_{n \ge 1 }

. Tập số:

(x_1, x_2, x_3, \cdots) \ = \ (x_n; n = 1,2,3, \cdots)

được gọi là biên của dãy đó.

Biên này không có thứ tự. Ví dụ, cho dãy ${(-1)^n}_{n \ge 1}$ , có biên là {-1,1}. Nó có 2 phần tử thay đổi là 1 và -1.

Dãy thực đơn điệu

Cho dãy

(x_n)_{n \ge 1}

với x_n là các số thực. Nó là

Tăng khi và chỉ khi $x_n < x_{n+1}$ với mọi $n \ge 1$ , và
Giảm khi và chỉ khi $x_n > x_{n+1}$ với mọi $n \ge 1$

Nếu dãy có được một trong hai tính chất này, ta gọi dãy đó là dãy đơn điệu.

Ví dụ, với dãy $(2^n)_{n \ge 1}$ , ta có $2^{n+1} = 2^n . 2$ . Do 2 > 1 nên $1.2^n < 2.2^n$ , hay $2^n < 2^{n+1}$ . Suy ra $(2^n)_{n \ge 1}$ là dãy tăng.

Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Một cách để xác định một dãy có đơn điệu hay không là dựa vào định nghĩa của một hàm số.

Ví dụ như cho dãy $(\frac{ln(n)}{n})_{n \ge 1}$ . Xét hàm số:

f(x) = \frac{ln(n)}{x}

với

x \ge 1

Lấy đạo hàm của nó, ta thu được:

f'(x) = \frac{ln'(x)x - (x)' ln(x)}{x^2} = \frac{1 - ln(x)}{x^2}

Đạo hàm này nhỏ hơn không khi x > e. Điều này xảy ra với mọi n > 2, nên dãy

(\frac{ln(n)}{n})_{n \ge 3}

là dãy giảm.

Dãy thực bị chặn

Dãy

(x_n)_{n \ge 1}

bị chặn trên khi và chỉ khi tồn tại T ở đó

x_n \le T

, với mọi

n \ge 1

. Số T được gọi là giá trị chặn trên.

Ngược lại, dãy $(x_n)_{n \ge 1}$ bị chặn dưới khi và chỉ khi tồn tại D ở đó $x_n \ge D$ , với mọi $n \ge 1$ . Số D được gọi là giá trị chặn dưới.

Nếu một dãy có cả 2 tính chất trên thì dãy đó được gọi là dãy bị chặn.

Ví dụ, dãy $(3^n)_{n \ge 1}$ bị chặn dưới bởi 0 vì nó luôn có giá trị dương.

Giới hạn của một dãy

Cho dãy (x_n) và một số x nằm cùng trong trường đại số với x_n, khi đó nếu:

\forall \; \epsilon \; >\; 0, \exist \; n_0 \in \mathbb{N}\,

\forall \; n >\; n_0

|x_n - x|<\; \epsilon \;

thì x được gọi là giới hạn của dãy (x_n). Ở đây phép tính |x| là trị.

Giới hạn của dãy thường được kí hiệu:

\lim_{n \to \infty}x_n=x

Giới hạn của dãy số có ứng dụng trong giải tích.

Xem thêm

Liên kết ngoài

(bằng tiếng Anh)

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Lý thuyết số | Dãy số

Gourt Home::Gourt :: Dãy (toán)