В цій статті даються роз'яснення до найбільш уживаних систем координат з елементарної матиматики. Докладнішу інформацію про системи координат можна знайти у статті Системи координат.

Координати точки -- це складові певного впорядкованого переліку, або точніше кортежу чисел, який визначає її місцезнаходження на площині або в просторі. Система координат -- це площина або простір, в якому визначений початок координат та вісі, що є необхідними передумовами для обчислення координат точки.

Декартові координати

---

cartesiancoordinates2D.JPG

В двововимірній системі Декартових координат, місцезнаходження точки P на xy-площині визначається парою чисел $(x,\; y)$.

• $x$ - відстань від точки P до вісі y або значення ординати (з урахуванням знаку)
• $y$ - відстань від точки P до вісі x або значення абсциси(з урахуванням знаку)

В тривимірній системі Декартових координат, точка P в xyz-просторі локалізується вже за допомогою трьох параметрів: $(x,\; y,\; z)$.

• $x$ - відстань від точки P до площини yz
• $y$ - відстань від точки P до площини xz
• $z$ - відстань від точки P до площини xy

Полярні координати

---

CircularCoordinates.png

Полярна система координат -- це така система координат, в якій точка локалізується за допомогою переліку чисел, одне з яких визначає відстань по прямій лінії від заданої точки до початку координат (так званого полюса), а інші -- кути, утворені цією лінією (радіус-вектором) або її проекціями з вісями системи координат.

Терміном полярні координати користуються для полярної системи координат на площині. Для орієнтації в просторі застосовують циліндричні та сферичні системи координат.

Циліндричні координати

---

Циліндрична система координат -- це тривимірна полярна система координат.

CylindricalCoordinates.png

В циліндричній системі координат, точка P репрезентується трикомпонентним кортежем $(r,\; \backslash theta,\; h)$. В термінах Декартової системи координат,

• $0\backslash leq\{r\}$ (радіус) - відстань від вісі z до точки P,
• (азимут або довгота) -- кут між позитивною ("плюсовою") частиною вісі x та прямої лінії, уявно проведеної від полюса до точки P, зпроектованої на xy-площину
• $h$ (висота) - відстань (з врахуванням знаку) від xy-площини до точки P.

Примітка: в літературі можна зустріти позначку $z$ для $h$; це не принципово, але потрібно слідкувати, які позначки застосовуються.

Полярні координати мають один недолік: значення $\backslash theta$ втрачає сенс, якщо $r=0$.

Циліндричні координати корисні для вивчення систем, симетричних навколо якоїсь вісі. Наприклад, нескінченно довгий циліндр в Декартових координатах має рівняння $x^2+y^2=c^2$, тоді як в циліндричних воно виглядає як $r=c$

Сферичні координати

---

Сферична система координат -- це тривимірна полярна система координат.

Spherical_Coordinates.png

В сферичній системі координат, місцезнаходження точки P визначається трьома компонентами:$(\backslash rho,\; \backslash phi,\; \backslash theta)$. В термінах Декартової системи координат,

• $0\backslash leq\backslash rho$ (радіус) -- це відстань від точки Р до полюса,
• $0\backslash leq\backslash phi\backslash leq\; 180^\backslash circ$ (широта або полярний кут) -- кут між z-віссю і прямою, проведеною з полюсу до точки P
• (азимут або довгота) -- кут між позитивною ("плюсовою" x-віссю та проекцією прямої, проведеною з полюсу до точки P на xy-площину.

Примітка: в літературі можна зустріти позначку $\backslash phi$ або $\backslash theta$ , а також $r$ для ρ;

Сферична система координат також має недолік: $\backslash phi$ втрачає сенс якщо $\backslash rho=0$, також і $\backslash theta$ втрачає сенс, якщо $\backslash rho=0$ або φ=0 or φ=180°.

Для побудови точки за її сферичними координатами, потрібно: від полюсу відкласти відрізок, рівний $\{\backslash rho\}$ уздовж позитивної z-вісі, повернути його на кут $\{\backslash phi\}$ навколо вісі y у напрямі позитивної x-вісі, та повернути на кут $\{\backslash theta\}$ навколо z-вісі в напряму позитивної y-вісі.

Сферичні координати корисні при вивченні систем, симетричних навколо точки. Так, рівняння сфери в Декартових координатах виглядає як $x^2+y^2+z^2=c^2$, тоді як в сферичних стає набагато простішим: $\backslash rho=c$.

Перехід від однієї системи координат до іншої

---

Декартові та полярні

$x=r\backslash ,\backslash cos\backslash theta\; \backslash quad$

$y=r\backslash ,\backslash sin\backslash theta\; \backslash quad$

$r=\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}$

$\backslash theta$

= \arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y де u₀ -- функція Хевісайда з $u\_0(0)=0$ та sgn -- функція signum. Тут функції u₀ та sgn використовуються як "логічні" перемикачі, аналогічні за значенням операторам "якщо..то" (if...else) в мовах програмування. Деякі мови програмування мають спеціальну функцію atan2(y,x), яка знаходить вірне значення θ в необхідному квадранті, визначеному x та y.

Декартові та циліндричні

$x=r\backslash ,\backslash cos\backslash theta$

$y=r\backslash ,\backslash sin\backslash theta$

$z=h\; \backslash quad$

$r=\backslash sqrt\{x^2\; +\; y^2\}$

$\backslash theta$

=\arctan\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y

$h=z\; \backslash quad$

$$

\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta&0\\ \sin\theta&r\cos\theta&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}

$$

\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0\\ 0&0&1 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}

Декартові та сферичні

$\{x\}=\backslash rho\; \backslash ,\; \backslash sin\backslash phi\; \backslash ,\; \backslash cos\backslash theta\; \backslash quad$

$\{y\}=\backslash rho\; \backslash ,\; \backslash sin\backslash phi\; \backslash ,\; \backslash sin\backslash theta\; \backslash quad$

$\{z\}=\backslash rho\; \backslash ,\; \backslash cos\backslash phi\; \backslash quad$

$\{\backslash rho\}=\backslash sqrt\{x^2+y^2+z^2\}$

$\{\backslash phi\}=\backslash arccos\backslash frac\{z\}\{\backslash rho\}$

$\{\backslash phi\}=\backslash arctan\backslash frac\{\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}\{z\}$

$\{\backslash theta\}$

=\arctan\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y

$$

\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\ \sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\ \cos\phi&-\rho\sin\phi&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}

$$

\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{x}{\rho}&\frac{y}{\rho}&\frac{z}{\rho}\\ \frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}

Циліндричні та сферичні

$\{r\}=\backslash rho\; \backslash ,\backslash sin\backslash phi$

$\{\backslash theta\}=\backslash theta\; \backslash quad$

$\{h\}=\backslash rho\; \backslash ,\backslash cos\backslash phi$

$\{\backslash rho\}=\backslash sqrt\{r^2+h^2\}$

$\{\backslash phi\}$

=\arctan\frac{h}{r} + \pi \, u_0(-r) \, \operatorname{sgn} h

$\{\backslash theta\}=\backslash theta\; \backslash quad$

$$

\begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \sin\phi&\rho\cos\phi&0\\ 0&0&1\\ \cos\phi&-\rho\sin\phi&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}

$$

\begin{vmatrix}d\rho\\d\phi\\d\theta\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}}&0&\frac{h}{\sqrt{r^2+h^2}}\\ \frac{-h}{r^2+h^2}&0&\frac{r}{r^2+h^2}\\ 0&1&0 \end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}dr\\d\theta\\dh\end{vmatrix}

Дивись також

---

• Системи координат
• Декартова система координат

Математика

Coordenada | Coordenada | Soustava souřadnic | Koordinatsystem | Koordinatensystem | Coordinate system | Koordinatsistemo | Sistema de coordenadas | Koordinaatsüsteem | Système de coordonnées | Sistema de coordenadas | קואורדינטות | Sistema di riferimento | 座標 | 좌표계 | Koordinate-system | Koordinačių sistema | Coördinaat | Koordinatsystem | Układ współrzędnych | Sistema de coordenadas | Система координат | Koordinatsystem | பகுமுறை வடிவியல் | 座標系統