Декартів добуток множин

В теорії множин, декартів добуток (прямий декартів добуток) двох множин X та Y - це множина усіх можливих впорядкований пар або кортежів, першими компонентами яких є елементи множини X, а другими - елементи множини Y. Це поняття названо на честь відомого французького математика Рене Декарта.

Декартів добуток двох множин X та Y позначається як X × Y:

X × Y = { (x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }

Тут впорядкована пара (x, y) елементів x, y є множина , яка має таку властивість, що (x, y) ≠ (y, x).

Наприклад, якщо множина X складається з 13 елементів { A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }, а множина Y - з 4 елементів {червоний, чорний, блакитний, зелений}, то Декартів добуток таких множин є 52-елементною (кількість усіх можливих комбінацій елементів множин) множиною { (A, червоний), (K, червоний), ... , (2, червоний), (A, чорний), ... , (3, зелений), (2, зелений) }.

Інший приклад декартового добутку множин - це 2-вимірна площина R × R, де R - множина дійсних чисел - усіх можливих точок з координатами (x,y) де x та y- дійсні числа (див. Декартова система координат). Декартовим добутком двох множин задається бінарне відношення між їхніми елементами.

Бінарний декартів добуток може бути узагальненим до n-арного декартового добутку n множин X₁, ..., X_n:

X₁ × ... × X_n = { (x₁,... ,x_n) | x₁ ∈ X₁ ... x_n ∈ X_n }

Результатом є множина впорядкованих n-ок (кортежів) (векторів, впорядкованих наборів). Тут i-й член n-ки називається i-ю координатою або i-м компонентом

n-декартів добуток однієї множини виду X × ... × X позначається також як Xⁿ і називається декартовим (прямим) степенем множини X.

Властивості

Операція декартового добутку неасоціативна і некомутативна, тобто множини (A×B)×C і A×(B×C), а також множини A×B і B×A, взагалі кажучи, нерівні між собою.

Справедливі також наступні тотожності:

(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)
(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)
A×(B∪C) =(A×B)∪(A×C)
A×(B∩C) =(A×B)∩(A×C)

Проекції

Проекцією на i-у вісь (або i-ою проекцією) кортежу A=(x₁,... ,x_n) називається i-а координата x_i кортежу A, позначається Pr_i(A) = x_i. Проекцією кортежу A=(x₁,... ,x_n) на осі з номерами i₁, i₂,..., i_k називається кортеж (x_i1,... ,x_ik), позначається Рr_i1,i2,...,ik(A).

Приклад: Якщо V={(a,b,c),(a,c,d),(a,b,d)}, то Pr₁V={a}, Pr₂V={b,c}, Pr_{2, 3}V={(b,c),(c,d), (b,d)}.

Теорія множин

Gourt Home::Gourt :: Декартів добуток множин

Властивості

Проекції