สัจพจน์ของความน่าจะเป็น

สัจพจน์ของความน่าจะเป็น (the axioms of probability) ถูกเสนอเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1936 โดยคอลโมโกรอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย¹. ในทฤษฎีความน่าจะเป็นทางคณิตศาสตร์, ความน่าจะเป็นถูกนิยามด้วยฟังก์ชัน แต่ไม่ได้หมายความว่าทุกๆ ฟังก์ชันจะสามารถแปลความหมายเป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นได้ทั้งหมด สัจพจน์ของความน่าจะเป็นจึงถูกนิยามมาเพื่อกำหนดว่าฟังก์ชันใดสามารถที่จะแปลความหมายในเชิงความน่าจะเป็นได้. กล่าวโดยสรุป ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ก็คือ ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่มีคุณสมบัติตรงกับที่สัจพจน์คอลโมโกรอฟกำหนดไว้ทุกข้อ. ในทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์, สัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเสนอ โดยบรูโน เด ฟิเนตติ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียนและริชาร์ด คอกซ์ นักฟิสิกส์ชาวอเมริกัน. เด ฟิเนตติเสนอสัจพจน์โดยมีแนวคิดมาจากเกมส์การพนัน ส่วนคอกซ์เสนอสัจพจน์ของเขาโดยมีแนวคิดมาจากการขยายความสามารถของตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล. สิ่งที่น่าทึ่งก็คือ ในทางปฎิบัติโดยทั่วไปแล้ว² สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ จะให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ทั้งๆ ที่ทั้งสามท่านมีแนวคิดเริ่มต้นต่างกันโดยสิ้นเชิง)

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างง่าย

กำหนดให้

P(x)

เป็นฟังก์ชันใดๆ ทางคณิตศาสตร์ โดยมีโดเมนคือ

\Omega

เราจะกล่าวว่า

P(x)

เป็นฟังก์ชันของความน่าจะเป็นก็ต่อเมื่อ

P(x)

มีคุณสมบัติต่อไปนี้

$P(A) \geq 0$ สำหรับ $A$ ที่เป็นสับเซตของ $\Omega$
$P(\Omega) = 1$
$P(A+B) = P(A) + P(B)$ สำหรับ $A$ และ $B$ ที่เป็นสับเซตของ $\Omega$ และ $A,B$ ไม่มีสมาชิกร่วมที่เหมือนกันเลย

อนึ่ง เราจะเรียกแต่ละสมาชิกใน $\Omega$ ว่า เหตุการณ์พื้นฐาน และ สับเซตเช่น $A,B$ ของ $\Omega$ ว่า เหตุการณ์ (ถึงแม้ว่า ไม่ใช่ว่าทุกสับเซตใด ๆ ของ $\Omega$ จะมีคุณสมบัติดังสัจพจน์ข้อที่ 3 แต่ในทางปฏิบัติสับเซตที่เรารู้จักต่างก็มีคุณสมบัติดังนั้นจริง ดูคำอธิบายที่สมบูรณ์ได้ในหัวข้อถัดไป)

สัจพจน์ของความน่าจะเป็นอย่างสมบูรณ์

นักคณิตศาสตร์หลายท่านมอง ทฤษฎีความน่าจะเป็น เป็นสาขาย่อยของทฤษฎีการวัด (measure theory). นั่นคือ มอง ความน่าจะเป็น เป็นปริมาณ (แบบนามธรรม) ชนิดหนึ่งที่สามารถวัดได้ในบริบทของทฤษฎีการวัด. ข้อดีของการใช้ทฤษฎีการวัดในการอธิบายทฤษฎีความน่าจะเป็น คือ เรามีทฤษฎีการวัดทั้งในเซตจำกัดและเซตอนันต์. ดังนั้นนักคณิตศาสตร์จึงสามารถขยายทฤษฎีความน่าจะเป็นให้กว้างขึ้น คลอบคลุมไปถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็นเป็นเซตอนันต์ได้ทันที โดยอ้างอิงจากทฤษฎีบทที่มีอยู่แล้วในทฤษฎีการวัด.

ในบริบทของทฤษฏีการวัด, ฟังก์ชันความน่าจะเป็นอธิบายได้ดังนี้

ค่าความน่าจะเป็น $\mathbb{P}$ ของเหตุการณ์(event) $\mathbf{E}$ , $\mathbb{P}(\mathbf{E})$ ขึ้นกับ "เอกภพสัมพัทธ์"(universe) หรือ "ปริภูมิของการสุ่ม"(sample space) $\boldsymbol{\Omega}$ ของเหตุการณ์พื้นฐาน ทั้งหมดที่เกิดขึ้นได้ และ $\mathbb{P}$ นั้นจะต้องมีคุณสมบัติตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ภายใต้บริบทของทฤษฎีการวัด ปริภูมิความน่าจะเป็น $( \boldsymbol{\Omega} ,\mathfrak{F} , \mathbb{P})$ นิยามโดยมีฟังก์ชันการวัด $\mathbb{P}$ เป็นฟังก์ชันการวัดที่ไม่เป็นลบบน ซิกม่าแอลจีบรา(σ-algebra) หรือ ซิกม่าฟิลด์(σ-field) $\mathfrak{F}$ ของทุกสับเซต ของ $\boldsymbol{\Omega}$ โดยที่ $\mathbb{P}(\boldsymbol{\Omega})=1$

หมายเหตุ: พยายามรักษารูปแบบการนำเสนอเดิมของ คอลโมโกรอฟ แต่มีการเปลี่ยนตัวแปรและเครื่องหมายที่ใช้

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟ

ถ้า

\boldsymbol{\Omega}

เป็น เชตของเหตุการณ์พื้นฐานของการสุ่ม

$\mathfrak{F}$ เป็น ซิกมาฟิลด์ (σ-field) ที่นิยามบน $\boldsymbol{\Omega}$
สำหรับทุกๆ $\mathbf{A}$ ใน $\mathfrak{F}$ ค่าความน่าจะเป็น $\mathbb{P}(\mathbf{A})$ จะนิยามเป็นฟังก์ชันจำนวนจริง และมีค่าไม่เป็นจำนวนลบ บน $\mathfrak{F}$
$\mathbb{P}(\boldsymbol{\Omega})=1$
ถ้า $\mathbf{A}$ และ $\mathbf{B}$ เป็นสองเหตุการณ์ที่ไม่เกี่ยวเนื่องกัน(disjoint events) แล้ว $\mathbb{P}(\mathbf{A} \cup \mathbf{B})= \mathbb{P}(\mathbf{A})+\mathbb{P}(\mathbf{B})$
(สมมติฐานความต่อเนื่อง หรือ ความสมบูรณ์ของการบวก (σ-field)) ถ้า \mathbf{A_1,A_2,}\ldots\mathbf{,A_n,}\ldots เป็นลำดับของเหตุการณ์ใน \mathfrak{F} โดยที่ \mathbf{A_1}\supset \mathbf{A_2} \supset \ldots \supset \mathbf{A_n} \supset \ldots แล้ว
- $\bigcap_{n} \mathbf{A_n} = \varnothing$
- ซึ่งก็คือ $\lim_{n \to \infty}\mathbb{P}(\mathbf{A_n})=0$

และจากข้อ 4 และ ข้อ 5 เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $P(\bigcup_{n=1}^\infty \mathbf{A_n}) = \sum_{n=1}^\infty P(A_n)$

คำอธิบายอย่างไม่เป็นทางการ

ในส่วนที่เราทุกคนรู้กันเป็นอย่างดีเกี่ยวกับความน่าจะเป็นก็คือ หากเรามีเหตุการณ์

\mathbf{A}

ใดๆ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นจะมีค่า

0 \leq \mathbb{P}(\mathbf{A}) \leq 1

และ ค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

\mathbb{P}(\boldsymbol{\Omega})=1

สัจพจน์ของคอลโมโกรอฟข้างต้น นอกเหนือจากจะกล่าวถึง คุณสมบัติของฟังก์ชันการกำหนดค่าความน่าจะเป็นแล้ว ยังได้ระบุถึงโครงสร้างของสิ่งที่ค่าความน่าจะเป็นจะถูกระบุลงไปอีกด้วย คือ ปริภูมิของเหตุการณ์ (event space) ในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็น ปริภูมิของเหตุการณ์ ประกอบด้วย สับเซต ทั้งหมดของ ปริภูมิของการสุ่ม $\boldsymbol{\Omega}$ ที่เราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้ โดยปกติแล้วเราอาจไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของทุกสับเซตของ $\boldsymbol{\Omega}$ ได้ สับเซตที่ระบุค่าความน่าจะเป็นได้นี้อธิบายในสัจพจน์ข้างต้นด้วย ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

ปกติเราสามารถสร้างเหตุการณ์ที่ซับซ้อนขึ้นจากเหตุการณ์อื่นๆ ด้วยการใช้ตัวดำเนินการทางเซต เช่น หากเราพิจารณาแบบจำลองของการโยนลูกเต๋า 1 ลูก โดยมีปริภูมิของการสุ่ม $\boldsymbol{\Omega} = \{1,2,3,4,5,6 \}$

เหตุการณ์ของการโยนออกแต้มเลขคี่ คือ $\{1,3,5\} = \{1\} \cup \{3\} \cup \{5\}$
เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 คือ $\{1,2,3\} = \{1\} \cup \{2\} \cup \{3\}$
เหตุการณ์ของการออกแต้มไม่น้อยกว่า 4 คือ $\{1,2,3\}^c = \{4,5,6\}$
เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 และ เป็นเลขคี่ คือ $\{1,3,5\} \cap \{1,2,3\} = \{1,3\}$
เหตุการณ์ของการออกแต้มน้อยกว่า 4 หรือ เป็นเลขคี่ คือ $\{1,3,5\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,5\}$

เพราะฉะนั้น ผลลัพธ์จากการดำเนินการทางเซต จะได้ผลลัพธ์เป็นเหตุการณ์ คือ เป็นสับเซตที่สามารถระบุความน่าจะเป็นได้ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการทางเซต

ตัวอย่าง พิจารณา $\boldsymbol{\Omega} = \{1,2,3,4\}$ หากเราสามารถระบุค่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ $\mathbf{A} = \{1,2,3\}$ และ $\mathbf{B} = \{3,4\}$ ได้ สับเซตทั้งหมดที่สามารถหาค่าความน่าจะเป็นได้ คือ ฟิลด์ ที่กำเนิดจากเหตุการณ์ทั้งสองข้างต้นคือ

\emptyset \quad \mathbf{A}\cap\mathbf{B}=\{3\} \quad \mathbf{A}^c\cap\mathbf{B}=\{4\} \quad \mathbf{B}^c=\mathbf{A}\cap\mathbf{B}^c=\{1,2\} \quad \mathbf{B}=\{3,4\} \quad \mathbf{A}=\{1,2,3\} \quad \boldsymbol{\Omega}

สังเกตว่า เหตุการณ์

\{1\}

และ

\{2\}

นั้นไม่ได้อยู่ในปริภูมิของเหตุการณ์ และ ไม่สามารถระบุค่าความน่าจะเป็นได้

ในกรณีของเหตุการณ์ นับได้จำนวนไม่จำกัด เช่น การโยนเหรียญจำนวนอินฟินิตีครั้ง ปริภูมิของเหตุการณ์จะอธิบายด้วย ซิกมาฟิลด์ ซึ่งเป็นกลุ่มของสับเซตของปริภูมิของการสุ่ม ที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้ การดำเนินการทางเซต นับได้ จำนวนไม่จำกัด

ดูบทความหลัก ฟิลด์ และ ซิกม่าฟิลด์

หมายเหตุ

¹ แม้ว่าคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นจะถูกพัฒนาขึ้นตั้งแต่มานานตั้งแต่ ปิแยร์ แฟร์มาต์, แบลส์ ปาลกาล จนถึง ปิแยร์ ซิมง ลาปลาซก็ตาม นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้กำหนดโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นอย่างเคร่งครัด คล้ายกับกรณีออกัสติน หลุยส์ โคชี่ได้นิยามแคลคูลัสของไอแซค นิวตัน กับ กอทท์ฟรีด ไลบ์นิซอย่างเคร่งครัดในคริสตศตวรรษที่ 19 นั่นเอง.

² อนึ่ง ในบทความนี้ได้กล่าวว่า ในทางปฏิบัติโดยทั่วไป สัจพจน์ของทั้งสามท่านได้ให้ผลลัพธ์เช่นเดียวกัน ในทางปฏิบัติ ในที่นี้หมายถึงกรณีที่โดเมนของฟังก์ชันความน่าจะเป็น เป็นเซตจำกัด ทำให้ประเด็นเรื่อง การบวกได้เชิงเซตจำกัด (finite additivity) และ การบวกได้เชิงเซตอนันต์นับได้ (countably additivity) ของทฤษฎีการวัดไม่ส่งผลต่อการใช้งานสัจพจน์. ในหนังสือของเอดวิน ทอมป์สัน เจนส์ (Jaynes, 2003) ได้วิเคราะห์ความเหมือน, ความแตกต่าง, แนวคิด และปรัชญา ของคอลโมโกรอฟ, เด ฟิเนตติ และคอกซ์ ไว้อย่างละเอียดในภาคผนวก รวมทั้งยังนำเสนอวิธีการสังเคราะห์สัจพจน์ของคอกซ์อย่างละเอียดจาก ความต้องการพื้นฐานที่สมเหตุสมผล ของทฤษฏีความน่าจะเป็นแบบเบย์อีกด้วย. ผู้สนใจสามารถดาวน์โหลดหนังสือของเจนส์ได้ฟรีจากรายชื่อเอกสารอ้างอิง.

เอกสารอ้างอิง

Kolmogorov, A. N. (Andrei Nikolaevich), Foundations of the theory of probability; translation edited by Nathan Morrison, New York, Chelsea Pub. Co., 1950.
de Finetti, B., Probability, induction and statistics: The art of guessing, John Wiley & Sons Ltd., 1972.
Jaynes, E.T. (2003) Probability Theory : The Logic of Science.