Definition

---

Ett linjärt rum, även lineärt rum eller vektorrum, är en mängd $L$ tillsammans med en kropp $F$ där addition ($+$) och multiplikation ($\backslash cdot$) är definierade så att följande axiomsystem är uppfyllda för alla $\backslash mathbf\{x\},\backslash mathbf\{y\},\backslash mathbf\{z\}\backslash in\; L$ och $\backslash lambda,\backslash mu\backslash in\; F$.

I. Addition

$+\; :\; L\; \backslash times\; L\; \backslash rightarrow\; L$

1. $(\backslash mathbf\{x\}+\backslash mathbf\{y\})+\backslash mathbf\{z\}=\backslash mathbf\{x\}+(\backslash mathbf\{y\}+\backslash mathbf\{z\})$
2. $\backslash mathbf\{x\}+\backslash mathbf\{y\}=\backslash mathbf\{y\}+\backslash mathbf\{x\}$
3. $\backslash exist\; 0\; \backslash in\; L$ så att $\backslash mathbf\{0\}+\backslash mathbf\{x\}=\backslash mathbf\{x\}$
4. $\backslash forall\; \backslash mathbf\{x\}\; \backslash in\; L\; \backslash \; \backslash exist\; \backslash mathbf\{y\}\; \backslash in\; L$ så att $\backslash mathbf\{x\}+\backslash mathbf\{y\}=\backslash mathbf\{0\}$

II. Skalärmultiplikation

$\backslash cdot\; :\; F\; \backslash times\; L\; \backslash rightarrow\; L$

1. $\backslash lambda\backslash cdot(\backslash mu\backslash cdot\backslash mathbf\{x\})=(\backslash lambda\backslash mu)\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}$
2. $(\backslash lambda+\backslash mu)\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}=\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}+\backslash mu\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}$
3. $\backslash lambda\backslash cdot(\backslash mathbf\{x\}+\backslash mathbf\{y\})=\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}+\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf\{y\}$
4. $1\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}=\backslash mathbf\{x\}$

Elementen i mängden $L$ kallas vektorer och elementen i mängden $F$ kallas skalärer.
Med ovanstående axiom kan man till exempel visa att

$0\backslash cdot\backslash mathbf\{x\}=\backslash mathbf\{0\}$

$\backslash lambda\backslash cdot\backslash mathbf\{0\}=\backslash mathbf\{0\}$

Om $F=\backslash mathbb\{R\}$ så kallas det linjära rummet reellt; om $F=\backslash mathbb\{C\}$ så är det komplext. Man brukar även tala om dimensionen av ett linjärt rum vilket är kardinaliteten på en bas till rummet. En bas till ett linjärt rum är en delmängd av rummet sådan att varje vektor kan, på ett unikt sätt, skrivas som en linjärkombination av vektorer från basen. Vektorerna i en bas kallas även för basvektorer. Tex om $L=F$ blir dimensionen 1 men om $L=\backslash mathbb\{C\}$ och $F=\backslash mathbb\{R\}$ blir dimensionen 2. Varje linjärt rum med ändlig dimension n är isomorft med $F^n$ där $F$ är kroppen.

Exempel

---

Höger eller vänster.gif $\backslash mathbb\{R\}^n$ som ett reellt linjärt rum där vektorerna är definerade som n-tuplar av reella tal.

Mängden av alla kontinuerliga funktioner $f\backslash colon\backslash mathbb\{R\}\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}$ - en mängd som oftast betecknas C⁰ - är också ett linjärt rum, men med oändlig dimension.

Se även

---

• Linjär algebra

• Delrum

• Metriskt rum
  • Normerat rum
    • Banachrum
    • Inre produktrum
      • Hilbertrum

abstrakt algebra | matematik

Espai vectorial | Vektorový prostor | Gofod fectoraidd | Vektorrum | Vektorraum | Vector space | Vektora spaco | Espacio vectorial | Lineaariavaruus | Espace vectoriel | Espazo vectorial | מרחב וקטורי | Vektortér | Spazio vettoriale | ベクトル空間 | 벡터 공간 | Vectorruimte | Vektorrom | Przestrzeń liniowa | Espaço vetorial | Spaţiu vectorial | Линейное пространство | Lineárny priestor | Vektorski prostor | Векторски простор | Лінійний простір | Spazsio vetoriàl | 向量空间 | Hiòng-liōng khong-kan