Inom matematiken är ett metriskt rum en mängd X tillsammans med en avståndsfunktion $d:\; X\; \backslash times\; X\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$ sådan att följande villkor gäller

1. $d\backslash left(x,y\backslash right)\; \backslash ge\; 0$
2. $d\backslash left(x,y\backslash right)\; =\; d\backslash left(y,x\backslash right)$
3. $d\backslash left(x,y\backslash right)\; =\; 0\; \backslash Leftrightarrow\; x\; =\; y$
4. $d\backslash left(x,y\backslash right)\; \backslash le\; d\backslash left(x,z\backslash right)\; +\; d\backslash left(z,y\backslash right)$

för alla element x, y och z från X.

En sådan avståndsfunktion kallas även en metrik.

Mängen av reella tal (betecknad $\backslash mathbb\{R\}$) är ett metriskt rum med avståndsfunktionen $d(x,y)\; =\; |x-y|$.

Mängden $\backslash mathbb\{R\}^3$ består av alla 3-tupler (x,y,z) där x, y och z samtliga är reella tal. Denna mängd ses konkret som punkter i det tre-dimensionella rummet, där 3-tupeln (a,b,c) motsvarar punkten med x-koordinat a, y-koordinat b samt z-koordinat c.

Mängden $\backslash mathbb\{R\}^3$ är ett metriskt rum med avståndsfunktionen

$d(\; (x\_1,y\_1,z\_1),\; (x\_2,y\_2,z\_2)\; )\; =\; \backslash sqrt\{\; (x\_1-x\_2)^2\; +\; (y\_1-y\_2)^2\; +\; (z\_1-z\_2)^2\; \}$.

Denna avståndsfunktion är det avstånd som fås i rymdgeometrin genom användande av Pythagoras sats.

För punkter i $\backslash mathbb\{R\}^3$ är villkoren (1)-(4) uppenbara. Villkor (1) motsvarar att avståndet mellan punkter i det euklidiska rummet är positivt. Villkor (3) motsvarar att två punkter P och Q har avstånd 0 om och endast om P=Q. Villkor (4) är den så kallade triangelolikheten: för tre punkter P, Q och R gäller att avståndet mellan P och R är mindre eller lika med summan av avståndet mellan P och Q samt avståndet mellan Q och R.

Matematik