Mängd

En mängd är en samling av objekt. De objekt som ingår i en mängd kallas mängdens element. I axiomatisk mängdteori, t ex ZFC, finns ett antal axiom som fastställer hur mängder får bildas. De får t ex inte ha sig själva som element. Men i stort sett är det nästan inga begränsningar på vad en mängd får innehålla.

En mängd är ändlig eller oändlig beroende på om den innehåller ett ändligt eller oändligt antal element. Ändliga mängder kan anges genom att man räknar upp elementen inom klammrar. Exempel: Mängden {2, 3, 5, 7} är mängden av alla primtal under 10. Mängden av alla primtal överhuvudtaget är oändlig så dem kan man inte skriva upp inom klammrar. Ett annat sätt att ange mängder är på formen {x : A(x)} som betyder mängden av alla x som har egenskapen A. Exempel: {x : x är ett primtal} är mängen av alla primtal. Nästan alla matematiska begrepp som finns kan reduceras till mängder.

Två mängder är lika om de innehåller exakt samma element. Mängder är oordnade dvs det spelar ingen roll i vilken ordning vi räknar upp elementen. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Det spelar heller ingen roll om vi räknar upp några element flera gånger. {1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3, 3, 3, 3}.

Den mängd som inte innehåller några element alls skrivs {} eller Ø och kallas den tomma mängden. Den mängd som innehåller alla element som är relevanta (dvs alla element som ingår i domänen för det man för tillfället studerar) kallas universum eller "grundmängd" och betecknas ibland med bokstaven U eller G.

Vanliga mängdoperationer är:

Unära: komplement, potensmängd
Binära: snitt, union, differens, produkt

De naturliga talen (dvs 0, 1, 2, 3, .... etc) definieras som (reduceras till) mängder på följande vis: 0 = ø 1 = {0} = {ø} 2 = {0, 1} = {ø, {ø}} 3 = {0, 1, 2} = {ø, {ø}, {ø, {ø}}} etc

På detta vis är varje naturligt tal mängden av sina föregångare, n = {0, 1, 2, ... , n-1}, och varje tal n innehåller n stycken element.

Två mängder $A$ och $B$ sägs innehålla lika många element om och endast om det finns en bijektiv funktion från $A$ till $B$ . Exempelvis finns det ingen sådan från de naturliga talen till de reella och därför kan man säga att det finns fler reella tal än naturliga.

Antalet element i en mängd betecknas med absolutbelopp, ex: |M| och kallas mängdens kardinaltal. Ett naturligt tal har sig själv som kardinaltal, t ex |5| = 5, eftersom 5 innehåller 5 element. Mängden av alla naturliga tal , $\mathbb{N}$ , har kardinaltalet Alef-noll som är den minsta oändliga kardinaliteten.

Mängdegenskaper

Några kända talmängder:

$\mathbb{N}$ , mängden av naturliga tal
$\mathbb{Z}$ , mängden av hela tal
$\mathbb{Q}$ , mängden av rationella tal
$\mathbb{R}$ , mängden av reella tal
$\mathbb{C}$ , mängden av komplexa tal

Se även:

Matematik | Statistik

Gourt Home::Gourt :: Mängd

Mängdegenskaper