Inom matematiken är lutningen av eller riktningskoefficienten hos en rät linje (i Kartesiska koordinatsystemet) ett mått på hur brant linjen är (jämför tangent, sekant och derivata). Med algebraiska och geometriska argument kan lutningen för en rät linje beräknas; med analys kan lutningen för godtycklig funktionskurva beräknas.

Definition

---

Lutningen definieras som förändringen av y dividerat med förändringen av x (om den horisontella axeln är x-axeln och vertikala axeln är y-axeln).

$m\; =\; \{\backslash Delta\; y\; \backslash over\; \backslash Delta\; x\}.$

Begreppet är fundamentalt inom algebran, analytiska geometrin och analysen.

När man beräknar lutningen spelar det ingen roll vilka två punkter på linjen man väljer eller i vilken ordning förändringarna beräknas.

Geometri

---

Ju större lutningen är desto brantare är kurvan. En horisontell linje har lutningen 0, en 45°-ig linje, som ligger högre åt höger, har lutningen +1, och en 45°-ig linje, som ligger lägre åt höger, har lutningen -1. En vertikal linje är inte definierad eftersom lutningen kan vara antingen -∞ eller +∞, d.v.s. ±∞ är inte ett unikt värde.

Vinkeln θ mellan en linje och den positiva horisontella (x-)axeln (den sk riktningsvinkeln) är nära besläktad med lutningen m via tangentfunktionen

m = tan θ

och

θ = tan^-1 k

där tan^-1 = arctan.

Två linjer är parallella (||) i ett kartesiskt koordinatsystem om och endast om deras riktningskoeeficienter är lika stora - de är vinkelräta (⊥) (i ett ortonormerat koordinatsystem) om och endast om produkten av deras riktningskoefficienter är -1.

Algebra

---

Om ekvationen är given på formen

y = kx + m

så är lutningen koefficienten till variabeln x; som i detta fall k. Denna form av linjens ekvation kallas k-form, och m kan tolkas som y-värdet för för linjens skärningspunkt med y-axeln.

Om du vet lutningen k för en linje och en punkt (x₀, y₀) på linjen kan linjens ekvation bestämmas med enpunktsformen

y - y₀ = k(x - x₀).

Analys

---

Inom analys kan man visa att lutningen är densamma som derivatan,

$m\; =\; \backslash tan\; x\; =\; \backslash left.\; \backslash frac\{dy\}\{dx\}\; \backslash right|\_x.$

ميل | Hældningstal | Steigung | Slope | Pendiente de una recta | Pente (mathématiques) | Coefficiente angolare | Stigningstall | Slope | 斜率