Banachrum

I matematiken är ett Banachrum, uppkallat efter Stefan Banach som studerade dem, ett av de centrala objekten inom funktionalanalys. Banachrum är i allmänhet oändligdimensionella rum av funktioner.

Definition

Ett Banachrum definieras som ett fullständigt normerat vektorrum. Detta betyder att ett Banachrum är ett reellt eller komplext vektorrum V, med en norm ||.|| sådan att varje Cauchyföljd (med avseende på metriken d(x, y) = ||x - y||) i V har ett gränsvärde i V.

Exempel

Låt K hädanefter stå för antingen R eller C.

De vanliga Euklidiska rummen Kⁿ, där den Euklidiska normen av x = (x₁, ..., x_n) ges av ||x|| = (∑ |x_i|²)^1/2, är ett Banachrum.

Rummet av alla kontinuerliga funktioner f : b -> K definierade på ett slutet intervall b blir ett Banachrum om vi definierar normen av en sådan funktion som ff(x)verkligen en norm eftersom kontinuerliga funktioner definierade på ett slutet intervall är begränsade. Rummet är fullständigt med denna norm, och det resulterande Banachrummet betecknas med Cb. Detta exempel kan generaliseras till rummet C(X) av alla kontinuerliga funktioner X -> K, där X är ett kompakt rum, eller till rummet av alla begränsade kontinuerliga funktioner X -> K, där X är något topologiskt rum, eller till rummet B(X) av alla begränsade funktioner X -> K, där X är någon mängd. I alla dessa exempel så kan vi multiplicera funktioner och stanna i samma rum: alla dessa exempel är i själva verket unitära Banachalgebror.

Om p ≥ 1 är ett reellt tal så kan vi betrakta rummet av alla oändliga följder (x₁, x₂, x₃, ...) av element i K sådana att de oändliga serierna ∑ |x_i|^p konvergerar. Den p-te roten av seriens värde definieras då till att bli p-normen av följden. Rummet, tillsammans med denna norm, är ett Banachrum och betecknas med l^p.

Banachrummet l^∞ består av alla begränsade följder av element i K; normen av en sådan följd definieras till att vara supremum av absolutbeloppet av elementen i följden.

Vidare, om p ≥ 1 är ett reellt tal så kan vi betrakta alla funktioner f : b -> K sådana att |f|^p är Lebesgueintegrabel. Den p-te roten av integralen definieras då till att vara normen av f. Detta rum är inte i sig ett Banachrum, eftersom det existerar nollskilda funktioner med norm noll. Vi definierar en ekvivalensrelation enligt: f och g är ekvivalenta omm normen av f - g är noll. Mängden av ekvivalensklasser formar då ett Banachrum; det betecknas med L^pb. Det är nödvändigt att använda Lebesgueintegralen och inte Riemannintegralen här, eftersom Riemannintegralen inte skulle ge ett fullständigt rum. Dessa exempel kan generaliseras; se L^p-rum för fler detaljer.

Slutligen, varje Hilbertrum är ett Banachrum, men omvändningen gäller inte.

Linjära operatorer

Om V och W är Banachrum, antingen båda komplexa eller båda reella, (K=R eller K=C) så betecknas mängden av alla kontinuerliga K-linjära avbildningar A : V -> W med L(V, W). Observera att i oändlig-dimensionella rum så är inte alla linjära avbildningar automatiskt kontinuerliga. L(V, W) är ett vektorrum, och genom att definiera normen ||A|| = sup { ||Ax|| : x i V med ||x|| ≤ 1 } så kan det ges strukturen av ett Banachrum.

Rummet L(V) = L(V, V) ger t.o.m. en Banachalgebra; multiplikationsoperationen ges av kompositionen av linjära avbildningar.

Derivator

Det är möjligt att definiera en derivata av en funktion f : V -> W mellan två Banachrum. För att få en bild av det hela kan man tänka sig följande: om x är ett element i V så är derivatan av f i punkten x en kontinuerlig linjär avbildning som approximerar f nära x.

Formellt kallas f deriverbar i punkten x om det existerar en kontinuerlig linjär avbildning A : V -> W sådan att

lim_h->0 ||f(x + h) - f(x) - A(h)|| / ||h|| = 0

Gränsvärdet här tages över alla följder av noll-skilda element i V som konvergerar mot 0. Om gränsvärdet existerar så skriver vi Df(x) = A och kallar det derivatan av f i punkten x.

Detta derivatabegrepp är faktiskt en generalisering av den vanliga derivatan av funktioner R -> R, efterom den linjära avbildningen från R till R är just multiplikation med reella tal.

Om f är deriverbar i varje punkt x av V, så är Df : V -> L(V, W) en annan avbildning mellan Banachrum (generellt sett inte en linjär avbildning!), och kan möjligen bli deriverad igen, och på så vis definiera högre derivator av f. Den n-te derivatan i en punkt x kan då ses som en multilinjär avbildning Vⁿ -> W.

Derivering är en linjär operation i följande mening: om f och g är två avbildningar V - W som är deriverbara i x, samt r och s är skalärer från K, så är rf + sg deriverbara i x med D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) + sD(g)(x).

Kedjeregeln gäller även i dessa sammanhang: om f : V -> W är deriverbar i punkten x i V, och g : W -> X är deriverbar i punkten f(x) så är kompositionen g o f deriverbar i x och derivatan är kompositionen av derivator:

D(g o f)(x) = D(g)(f(x)) o D(f)(x)

Dualrum

Om V är ett Banachrum och K är antingen R eller C så är K själv ett Banachrum (med absolutbeloppet som norm) och vi kan definiera dualrummet V' där V' = L(V, K). Detta är åter ett Banachrum. Det kan användas för att definiera en ny topologi på V: den svaga topologin.

Det finns en naturlig avbildning F från V till V'' definierad genom

F(x)(f) = f(x)

för alla x i V och f i V'. Som en följd av Hahn-Banachs sats, så är avbildningen injektiv; om den även är surjektiv så kallas Banachrummet V reflexivt. Reflexiva rum har många viktiga geometriska egenskaper. Ett rum är reflexivt omm dess dual är reflexivt, vilket är fallet omm dess enhetsklot är kompakt i den svaga topologin.

Generaliseringar

Åtskilliga viktiga rum i funktionalanalys, till exempel rummet av alla oändligt deriverbara funktioner R -> R eller rummet av alla distibutioner på R, är fullständiga men inte normerade vektorrum och därmed inte Banachrum. I Fréchetrum har man fortfarande en fullständig metrik, medan LF-rum är fullständiga likformiga vektorrum som uppstår som gränser av Fréchetrum.

Se även

Metrik
- Metriskt rum
- Pseudometrik

Inre produkt
- Hilbertrum

Matematik | Funktionalanalys