Det aritmetisk-geometriska medelvärdet (AGM) är ett medelvärde av två tal som fås genom att ta deras aritmetiska respektive geometriska medelvärden och i oändligheten rekursivt upprepa samma procedur med dessa. Givet två tal x och y, erhålles agm(x, y) utifrån

$a\_1\; =\; x,\backslash ,\backslash !$

$b\_1\; =\; y,\backslash ,\backslash !$

$a\_\{n+1\}\; =\; \backslash frac\{a\_n+b\_n\}\{2\},$

och

$b\_\{n+1\}\; =\; \backslash sqrt\{a\_n\; b\_n\}.$

Sekvenserna a och b konvergerar mot ett gemensamt värde, vilket ger det aritmetisk-geometriska medelvärdet,

$\backslash mathrm\{agm\}(x,\; y)\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; a\_n\; =\; \backslash lim\_\{n\; \backslash to\; \backslash infty\}\; b\_n$

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet av två tal ligger alltid mellan talens geometriska och aritmetiska medelvärden. Om r > 0 gäller också att

$\backslash mathrm\{agm\}(rx,ry)\; =\; r\; \backslash ,\backslash mathrm\{agm\}(x,y).\backslash ,\backslash !$

Det aritmetisk-geometriska medelvärdet utnyttjas bland annat av Gauss-Legendres algoritm som är ett mycket effektivt sätt att beräkna π numeriskt. Gauss konstant, G, kan också definieras som reciproken av det aritmetisk-geometriska medelvärdet av 1 och roten ur två,

$G\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash mathrm\{agm\}(1,\; \backslash sqrt\{2\})\}.$

Statistik

Arithmetisch-geometrisches Mittel | Arithmetic-geometric mean | Media aritmética geométrica | 算術幾何平均 | Średnia arytmetyczno-geometryczna