Скуп

Основни појмови

Појам скупа се обично не дефинише, већ се узима као основни, а често се умјесто тог термина користе разни синоними, као што су, на примјер, мноштво, фамилија, колекција исл.

За означавање скупова најчешће користимо велика слова латинице $A, B, \ldots$ . Ако је неки скуп коначан или пребројиво бесконачан, па се његови елементи могу набројати, користимо се записом

$A = \{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\}$ , односно $A = \{x_{1}, x_{2}, \ldots\}$ ;

такође, елементе неког скупа можемо описати ако користимо неко својство $P(x)$ које они (и само они) задовољавају:

$A = \{x \mid P(x)\}$

Дакле, скуп је одређен својим елементима; припадност елемента $x$ скупу $A$ означава се са $x \in A$ , а неприпадност са $x \notin A$ .

Између скупова се уводе двије основне релације - једнакост и инклузија:

$A = B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Leftrightarrow x \in B)$

$A \subset B \Leftrightarrow (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B)$

Непосредно из ових дефиниција је јасно да је

$A = B \Leftrightarrow (A \subset B \land B \subset A)$

Посебно издвајамо празан скуп, који означавамо са $\O$ и можемо дефинисати, на примјер, помоћу $\O = \{x \mid x \neq x\}$ . Тај скуп има особину да је $\O \in A$ за било који скуп $A$ . Такође, ако су у оквиру неке теорије сви скупови са којима оперишемо подскупови неког фиксираног скупа, тај скуп називамо универзалним и често обиљежавамо са $U$ . Такав скуп значи има особину да је $A \in U$ за све скупове $A$ са којима оперишемо у датом проблему, при чему треба нагласити да није исправно користити термин "скуп свих скупова" - он може довести до нежељених парадокса.

Историја

Савремена теорија скупова настаје крајем 19. века када немачки математичар Георг Кантор даје описну математичку теорију која се још назива и интуитивна или наивна теорија скупова.

Дефиниција:Скуп је обједињење извесних елемената у једну целину.

Овде ће бити представљен систем аксиома каквог га је поставио Готлоб Фреге у књизи "Основни закони аритметике" 1893. године

Аксиома о једнакости два скупа:Два скупа су једнака ако и само ако имају исте елементе.
Аксиома апстракције:За унапред задато својство P(x) постоји скуп {x|P(x)} чији су елементи управо они објекти који имају то својство.
Аксиома избора:За сваки непразан скуп S постоји функција f чији су оригинали непразни подскупови тог скупа, а слике су елементи оригинала, тј. $(\forall S)(\exist f:P(S)\ {\emptyset}\longrightarrow S)(\forall A)(A\subset S \land A \ne \emptyset \Longrightarrow f(A) \in A)$

Последња аксиома каже да свако својство дефинише скуп. Међутим, већ 1902. године ће Бертран Расел показати пример који води контрадикцији. То добија назив Раселов парадокс, а теорија скупова се нашла пред великим проблемима.

Операције са скуповима

Са скуповима се могу изводити разне операције. Дајемо дефиниције неколико основних:

$A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\}$

$A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\}$

$A \setminus B = \{x \mid x \in A \lor x \notin B\}$

Особине скупова

Основне особине скупова су задате у сљедећој листи:

$A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A$ (закони комутације)

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C), (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ (закони асоцијације)

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C), A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ (закони дистрибуције)

Теорија скупова

Gourt Home::Gourt :: Скуп

Основни појмови

Историја

Операције са скуповима

Особине скупова