Bashkësia është koncepti themelor i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :

• Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: $A\; =\; (a\_\{1\},a\_2,a\_3,...,a\_n\; )$
• Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: $A\; =\; \backslash \{\; x|F(x)\; \backslash \}$

Bashkësitë numerike

---

• Bashkësia e numrave natyral :

$\backslash mathbb\{N\}\; =\; \backslash \{\backslash ,\; 1,\; 2,\; 3,\; \backslash ldots\; ,\; n,\; n+1,\; \backslash ldots\; \backslash ,\backslash \}$

• Bashkësia e numrave të plotë :

$\backslash mathbb\{Z\}\; =\; \backslash \{\backslash ,\; \backslash ldots\; ,\; -2,\; -1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; \backslash ldots\; ,\; n,\; n+1,\; \backslash ldots\; \backslash ,\backslash \}$

• Bashkësia e numrave racional :

$\backslash mathbb\{Q\}\; =\; \backslash left\backslash \{\backslash frac\{m\}\{n\}\; |\; m\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\},\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\},\; n\; \backslash ne\; 0\; \backslash right\backslash \}$

• Bashkësia e numrave realë :

• Bashkësia e numrave kompleksë :

$\backslash mathbb\{C\}\; =\; \backslash \{\backslash \; x+iy|x\; \backslash in\backslash mathbb\{R\}\; ,y\; \backslash in\backslash mathbb\{R\}\; ,i=\; \backslash sqrt\{-1\}\; \backslash ,\backslash \}$

• Bashkësia e numrave çift :

$\backslash mathbb\{N\_+\}\; =\; \backslash \{\backslash \; n|x\; \backslash in\backslash mathbb\{N\}\; \backslash land\; n\; \backslash vdots\; 2\; \backslash ,\backslash \}$

• Bashkësia e numrave tek :

$\backslash mathbb\{N\_-\}\; =\; \backslash \{\backslash \; n|x\; \backslash in\backslash mathbb\{N\}\; \backslash land\; n\; \backslash not\backslash vdots\; 2\; \backslash ,\backslash \}$

Veprimet me bashkësi

---

• Prerja e bashkësive

Prerja e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila i përmban elementet njërës bashkësi ,,dhe,, të tjetrës $A$ and $B$ $$ figura.

• Unioni i bashkësive

Unioni i bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive $A$ dhe $B$ $$ figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :

1. Ligji i indempotencës

$A\backslash cup\; A=A$

1. Ligji i kumutativ

$A\backslash cup\; B=B\backslash cup\; A$

1. Ligji asociativ

$AU(BUC)=(AUB)UC$

1. Ligji distribtiv

1. Ligji distribtiv

• Diferenca e bashkësive

Diferenca e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë $A$ që nuk i takojnë bashkësisë $B$ $$ figura.

• Diferenca simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive $A$ dhe $B$ $$ figura.

Relacionet

---

• Relacionet binare

Nëse me $A$ shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me $\backslash rho$ relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të $A$-së, atëherë për $\backslash rho$ themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian : $AxB$
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ vlenë relacioni $\backslash rho$ i cili ka vetitë $a\; \backslash rho\; b$ dhe $b\; \backslash rho\; a$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë. $$ Në të kundërtën nëse vlen: $$ themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ nga relacioni binar $\backslash rho$ rrjedhë $b\; \backslash rho\; a$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë $$ Në të kundërtën nëse vlen: $$ themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ nga relacionet binare $a\; \backslash rho\; b$ dhe $b\; \backslash rho\; a$ rrjedhë $a\; \backslash rho\; c$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv $$ Në të kundërtën nëse vlen: $$ themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.

• Relacioni i ekuivalencës

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë $\backslash rho$ i cili në bashkësinë $A$ është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është " $\backslash sim$ " .
Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

• Relacioni i renditjes

Relacioni i renditjes është relacioni binarë $\backslash rho$ i cili në bashkësinë $A$ është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë $\backslash rho$ në bashkësinë $A$ është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

• Relacionet ndërmjet dy bashkësive

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian $AxB$ i bashkësive jo të zbrazëta $A$ dhe $B$. Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen : $\backslash rho\; =\; \backslash left\; \backslash \{\; (a,b)|\; a\; \backslash in\; A\; \backslash land\; b\; \backslash in\; B\; \backslash land\; a\; \backslash rho\; b\; \backslash right\; \backslash \}$

Pasqyrimet

---

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë $A$ në $B$ quhet relacioni $\backslash rho$ ndërmjet dy bashkësive $A$ dhe $B$, i cili ka këtë veti : $(\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; A)(\; \backslash exists\; !y\; \backslash in\; B)(x,y)\; \backslash in\; \backslash rho$ Elementet e bashkësisë $A$ që pasqyrohen në bashkësinë $B$ janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë $B$ që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me $\backslash rho$ por me $f\; ,\; g\; ,\; h\; ,\; \backslash psi$ etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

• Shënimi simbolik i pasqyrimit

$f:\; A\; \backslash to\; B$ ose $f:\; x\; \backslash to\; y\; =f(x)\; ,\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; A$'''

• Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

$f(x)=2x\; ,\; x\backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$

• Funksioni invers

Nëse për pasqyrimin $f:\; A\; \backslash to\; B$ vlen që ç´do $y$ element i $B$ dhe ekziston një elementë $x$ i tillë që :
$(\; \backslash forall\; y\; \backslash in\; B)(\; \backslash exists\; !x\; \backslash in\; A),\; g:y\; \backslash to\; x=g(y)$ atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers $g$ të pasqyrimit $f$.
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers $f$ zakonisht shënohet si :$f^-$ Për pasqyrimin $f$ themi se është kodomen i domenit $f^-$ dhe në të njëjtën kohë domeni $f$ është kodomen i $f^-$.
Figura:

• Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit $x$ të bashkësisë $A$ i përgjigjet (ekziston së paku një) element $y$ i bashkësisë $B$, i tillë që në bashkësinë $C$ ekziston së paku një element $z$ i cili i përgjigjet $y$.Në gjuhen matematikore kjo duket si : $(\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; A)(\; \backslash exists\; !z\; \backslash in\; C)(g\; \backslash circ\; f):\; x\; \backslash to\; z=g\{f(x)\}.$

Veprimet binare

---

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që: $f:\; A^2\; \backslash to\; A$

Ligjet e veprimeve binare

1. ligji komutativ është nëse vlen:$(\; \backslash forall\; a\; ,\; b\; \backslash in\; A)\; a\; \backslash circ\; b=\; b\; \backslash circ\; a.$
2. ligji asociativ është nëse vlen:$(\; \backslash forall\; a\; ,\; b\; ,\; c\; \backslash in\; A)(\; a\; \backslash circ\; b)\; \backslash circ\; c=a\; \backslash circ\; (b\; \backslash circ\; c).$
3. ligji distributiv është nëse vlen: $(\; \backslash forall\; a\; ,\; b\; ,\; c\; \backslash in\; A)\; a\; \backslash circ\; (b\; *\; c)=(a\; \backslash circ\; b)*\; (a\; \backslash circ\; c).$

• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ është i përkufizuar veprimi binar $\backslash circ$ atëherë për $(A,\; \backslash circ)$ themi se është grupoid.
• Po që se veprimi binarë $\backslash circ$ grupoidit $(A,\; \backslash circ)$ është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ ekziston një element $e$ me vetin:

$(\; \backslash forall\; a\; \backslash in\; A)a\; \backslash circ\; e=e\; \backslash circ\; a=a$ ,atëherë për $e$ themi se është element neutral.

Grupet dhe nëngrupet

---

Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha per teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha

---

• Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

1. $(A,\; \backslash oplus\; )$ është grup abelian,
2. $(A,\; \backslash otimes\; )$ është grupoid dhe
3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.

• Trupi

Trup quhet unaza asociative $(A,\; \backslash oplus\; ,\; \backslash otimes\; )$ nëse $(A\_1,\; \backslash otimes\; )$ është grup, ku $A\_1\; =\; A|\; \backslash left\; \backslash \{\; 0\; \backslash right\; \backslash \}$.

• Fusha

Fushë quhet trupi $(A,\; \backslash oplus\; ,\; \backslash otimes\; )$ nëse shumëzimi është kumutativ.

Formula

---

Matematikë

مجموعة (رياضيات) | Мноства | Множество | সেট | Conjunt | Množina | Menge (Mathematik) | Σύνολο | Set | Aro | Conjunto | Hulk | مجموعه (ریاضی) | Joukko | Ensemble | קבוצה (מתמטיקה) | Halmaz | Ensemblo | Insieme (insiemistica) | 集合 | ಗಣ | 집합 | Aibė | Verzameling (wiskunde) | Mengde | Zbiór | Conjunto | Mulţime | Множество | Množina | Množica | Скуп | Mängd | Множина | 集合