Gourt Home::Gourt :: Zaporedje
Zaporédje je v matematiki vsaka množica števil, ki je razporejena tako, da je en njen element a0 prvi, en element a1 drugi, en element a3 itd. in lahko za vsako število množice določimo, na katerem mestu zaporedja stoji. Posamezna števila v zaporedju imenujemo člene zaporedja. Členi zaporedja so lahko tudi enaka števila, negativna števila, ulomki.
Obstaja tudi naslednja določitev: zaporedje je v poljubni množici X funkcija f N → X (množice naravnih števil N, po navadi brez števila 0) v množico X.
Mesto člena zaporedja po navadi zapišemo v indeksnem zapisu a0, a1, a2, ... z indeksom ob boku člena, namesto funkcijskega zapisa f (0), f (1), f (2), ...
Tudi končna zaporedja so možna. Takšna zaporedja imajo zadnji člen. Pravimo jim tudi končni seznami. Tukaj v matematičnem delu obravnavamo neskončna zaporedja, saj je to v skladu z obema definicijama. Vsako neskončno zaporedje nima zadnjega člena. Velikokrat podamo zaporedje s splošnim členom an, drugače pa s pravilom, po katerem tvorimo poljubne člene. Zaporedje si geometrijsko predstavimo s točkami na realni številski premici.
Če je množica X množica celih števil, je dano zaporedje celoštevilsko zaporedje.
Primeri tako urejenih množic števil:
- zaporedje naravnih števil:
- {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., an, ...} (an = n, n ≥ 0)
- zaporedje obratnih vrednosti naravnih števil brez števila 0:
- {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ..., an } (an = 1/n, n > 0)
- zaporedje sodih števil:
- {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ..., an, ...} (an = 2n, n ≥ 0)
- zaporedje lihih števil:
- {1, 3, 5, 7, 9, 11, ..., an, ...} (an = 2n + 1, n ≥ 0)
- zaporedje kvadratov naravnih števil:
- {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ..., an, ...} (an = n2, n ≥ 0)
- {11, 0, 1/11, 8/121, 81/1331, 1024/14641, an, ...} (an = (n-1)n/11n-1, n ≥ 0)
- izmenično zaporedje:
- {-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, ..., an, ...} (an = -1n, n ≥ 0)
- {0, -1, 2, -3, 4, -5, 6, ..., an, ...} (an = -1nn, n ≥ 0)
- {1, 3/4, 2/3, 5/8, 3/5, 7/12, 4/7, ..., an, ...} (an = (1 + 2 + 3 + ... + n)/n2, n > 0)
- aritmetično zaporedje:
- {3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, ..., an, ...} (an = 5(n+1)-2, n ≥ 0)
- geometrično zaporedje:
- {6, 2, 2/3, 2/9, 2/27, 2/81, 2/243, ..., an, ...} (an = 2(1/3)n-1, n ≥ 0)
- alikvotno zaporedje z najmanjšim znanim ključnim številom:
- {276, 396, 696, 1104, 1872, 3770, 3790, 3050, 2716, 2772, 5964, 10164, ...} (ni znano ali je neskončno)
- Fibonaccijevo zaporedje:
- {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ..., an, ...} (a0 = 0, a1 = 1, an+2 = an + an+1, n ≥ 0)
Če je množica X oskrbljena s topologijo lahko govorimo o stekališču zaporedja. Zaporedje se steka (konvergira) k limitni točki x, če vsaki odprti množici, ki vsebuje x, pripada tudi nekončno mnogo členov zaporedja. Členi zaporedja realnih števil {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} se stekajo proti 0, in sicer od desne strani. Pri številu stekališč zaporedja lahko nastopi nešteto različnih možnosti. Stekališče obstaja samo pri neskončnih zaporedjih, ker pri končnem zaporedju ni nobene okolice stekališča, v kateri bi bilo neskončno mnogo členov zaporedja, saj jih je le končno mnogo. Nekatera zaporedja imajo samo eno stekališče, druga imajo dve ali celo več stekališč. V Hausdorffovem prostoru pa lahko ima zaporedje le eno stekališče. Obstajajo celo zaporedja, ki imajo neskončno mnogo stekališč. Nekatera zaporedja pa nimajo stekališča in pravimo, da se razmaknejo (divergirajo). Takšno je na primer zaporedje naravnih števil {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Glej tudi
V biokemiji se zaporedje nanaša na niz monomerov, ki določajo biopolimer.
Folge (Mathematik) | Sequence | Sucesión matemática | Suite | Barisan | Successione (matematica) | Ciąg (matematyka) | Sucessão matemática | Succissioni (matimatica)
"Zaporedje"