Kaprékarjevo števílo je v matematiki pozitivno celo število, za katerega lahko v dani osnovi števke njegovega kvadrata razdelimo na dve števili z enakim številom števk, kot jih ima število, pri čemer je vsota novih števil enaka številu samemu. Pri tem velja:

$k^\{2\}\; =\; l\; \backslash ,\; 10^\{n\}\; +\; r\; \backslash ,\backslash !\; \backslash ;\; ,$

Število 1 je Kaprekarjevo po dogovoru, saj velja:

$1^\{2\}\; =\; 0\; \backslash cdot\; 10^\{n\}\; +\; 1,\; \backslash quad\; 1\; =\; 0+1\; \backslash ,\backslash !\; \backslash ;\; .$

$9:\; 9^\{2\}\; =\; 81;\; 8\; +\; 1\; =\; 9\; \backslash ,\backslash !$

$45:\; 45^\{2\}\; =\; 2025;\; 20\; +\; 25\; =\; 45\; \backslash ,\backslash !$

$55:\; 55^\{2\}\; =\; 3025;\; 30\; +\; 25\; =\; 55\; \backslash ,\backslash !$

$99:\; 99^\{2\}\; =\; 9801;\; 98\; +\; 1\; =\; 99\; \backslash ,\backslash !$

$297:\; 297^\{2\}\; =\; 88209;\; 88\; +\; 209\; =\; 297\; \backslash ,\backslash !$

$703:\; 703^\{2\}\; =\; 494209;\; 494\; +\; 209\; =\; 703\; \backslash ,\backslash !$

$999:\; 999^\{2\}\; =\; 998001;\; 998\; +\; 1\; =\; 999\; \backslash ,\backslash !$

$2223:\; 2223^\{2\}\; =\; 4941729;\; 494\; +\; 1729\; =\; 2223\; \backslash ,\backslash !$

Prva Kaprekarjeva števila so :

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272,...

Kaprekarjeva števila se imenujejo po indijskem matematiku Šri Datatreji Ramačandri Kaprekarju (1905-1986), ki jih je predstavil leta 1980.

Vsako število oblike 10ⁿ za n ≥ 1 je Kaprekarjevo, saj velja:

$\backslash left(\; 10^\{2\}\; -\; 1\backslash right)\; ^\{2\}\; =\; \backslash left(\; 10^\{n\}\; -\; 2\backslash right\; )\; 10^\{n\}\; +\; 1\; \backslash ;\; ,$

$10^\{n\}\; -\; 1\; =\; \backslash left(\; 10^\{n\}\; -\; 2\backslash right\; )\; +\; 1\; \backslash ;\; .$

Vidi se, da število 0 ni Kaprekarjevo.

Druge lastnosti

---

Soda popolna števila so Kaprekarjeva v dvojiškem sistemu.

Na primer:

$6\_\{*\}\; =\; 110\; \backslash ;\; ,$

$110^\{2\}\; =\; 100100,\; \backslash quad$

10 + 0100 = 110 \; ,

ali:

$496\_\{*\}\; =\; 111110000\; \backslash ;\; ,$

$111110000^\{2\}\; =\; 111100000100000000,\; \backslash quad$

11110000 + 0100000000 = 111110000

Tudi za druge potence obstajajo Kaprekarjeva števila.

Teorija števil

Kaprekar number | Número de Kaprekar | Nombre de Kaprekar | カプレカ数 | Kaprekargetal | Kaprekar sayıları | 卡布列克數