Пусть задан ограниченный обратимый линейный оператор $\backslash ,\backslash !\; A$.
Числом обусловленности оператора $\backslash ,\backslash !\; A$ называется число

$\backslash mu(A)\; =\; ||A||\backslash cdot||A^\{-1\}||$

Если оператор $\backslash ,\backslash !\; A^\{-1\}$ не ограничен, то числом обусловленности оператора $\backslash ,\backslash !\; A$ обычно считают $\backslash mu(A)\; =\; +\backslash infty$

С числом обусловленности связано множество утверждений и оценок теории вычислительной математики.

Рассмотрим линейное уравнение

$\backslash ,\backslash !\; Au\; =\; f$,

где $\backslash ,\backslash !\; A$ — линейный оператор, $\backslash ,\backslash !\; f$ — вектор, $\backslash ,\backslash !\; u$ — искомый вектор (переменная уравнения). Допустим, уравнение решается с погрешностью на входных данных. Тогда число обусловленности $\backslash ,\backslash !\; \backslash mu(A)$ характеризует, насколько сильно будет велика погрешность в решении.

Если число обусловленности оператора $\backslash ,\backslash !\; A$ мало́, то оператор называется хорошо обусловленным. Если же число обусловленности велико, то оператор называется плохо обусловленным. Таким образом, чем меньше $\backslash ,\backslash !\; \backslash mu(A)$, тем «лучше», то есть тем меньше погрешности решения будут относительно погрешностей в условии. Учитывая, что $\backslash ,\backslash !\; \backslash mu(A)\; \backslash ge\; 1$, то наилучшим числом обусловленности является 1.

Некоторые теоремы, связанные с числом обусловленности

---

Оценка относительной погрешности при замене уравнения близким

Рассмотрим два линейных уравнения:

$\backslash ,\backslash !\; Au\; =\; f\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash qquad\; \backslash \; (1)$ — «основное» уравнение

$\backslash ,\backslash !\; (A\; +\; \backslash Delta\; A)u\; =\; f\; +\; \backslash Delta\; f\; \backslash qquad\; (2)$ — «близкое» к нему.

Пусть $\backslash ,\backslash !\; A$ — линейный ограниченный обратимый оператор, действующий из полного пространства $\backslash ,\backslash !\; U$.
Пусть операторы $\backslash ,\backslash !\; A^\{-1\},\; \backslash Delta\; A$ также ограничены, и .

Пусть $\backslash ,\backslash !\; u^*$ — решение уравнения (1), $\backslash ,\backslash !\; u^*\; +\; \backslash Delta\; u$ — решение уравнения (2).

Тогда    $\backslash frac\{||\backslash Delta\; u||\}\{||u^*||\}\; \backslash le\; \backslash frac\{\backslash mu(A)\}\{1\; -\; \backslash mu(A)\backslash frac\{||\backslash Delta\; A||\}\{||A||\}\}\; \backslash left(\backslash frac\{||\backslash Delta\; A||\}\{||A||\}\; +\; \backslash frac\{||\backslash Delta\; f||\}\{||f||\}\; \backslash right)$

Вычислительная математика

Kondition (Mathematik) | Condition number | 条件数