Треугольник

Треуго́льник — простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

Вершины треугольника обычно обозначаются заглавными латинскими буквами (A, B, C), величины углов при соответственных вершинах — греческими (α,β,γ), а длины противоположных сторон — прописными (a, b, c).

Неравенство треугольника

Стороны треугольника нельзя задавать произвольно, они связаны следующими неравенствами

a ≤ b + c
b ≤ a + c
c ≤ a + b

в случае выполнения равенства в одном из них треугольник называется вырожденным, далее везде предполагается невырожденный случай

Признаки равенства треугольников

Треугольник однозначно (с точностью до конгруэнтности) можно определить по следующим тройкам основных элементов:

a, b, c
a, b, γ
a, β, γ

Соотношения в треугольнике

Если известны три величины, указанные выше, то остальные можно найти по следующим формулам:

Теорема синусов

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}

(Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ)

Теорема косинусов

c² = a² + b² - 2ab cos γ

(Является обобщением теоремы Пифагора)

Теорема о сумме углов треугольника

α + β + γ = 180° (π)

Ещё соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника

\triangle ABC

${a\over b}={a_L\over b_L}$ - отношение для отрезков, на которые биссектриса делит противолежащую сторону,
$l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}} = \sqrt{ab-a_Lb_L}$ - находим биссектрису,
$m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$ - находим медиану,
$h_c = {2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\over c}$ - находим высоту.

Здесь

\ h_a, h_b, h_c

- высоты, опущенные соответственно на стороны

\ a

\ b

\ c

\ a_L

\ b_L

отрезки, на которые биссектрира делит противолежащие стороны,

\ r

— радиус вписанной окружности,

\ R

— радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

$S_{\triangle ABC}= \frac {1}{2} bh_b$ , т.к. $\ h_b = a \sin \gamma$ , то:
$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} ab \sin \gamma$
$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2} r(a+b+c) = pr$
$S_{\triangle ABC}=\frac {abc}{4R}$
$S_{\triangle ABC}= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}$ - формула Герона.

Где:
$\ h_b$ — высота, проведённая на сторону $\ b$ ,
$p=\frac {a+b+c}{2}$ - полупериметр,
$\ r$ — радиус вписанной окружности,
$\ R$ — радиус описанной окружности.

Типы треугольников

Равнобедренный треугольник

Triangle_isosceles.png Равнобедренным называется треугольник, у которого 2 стороны равны. Равные стороны называются боковыми, неравная сторона называется основанием.

Для равнобедренного треугольника справедливо:

Высота, опущенная на основание, является медианой и биссектрисой.
Углы при основании равны.

Равносторонний треугольник

Triangle1.png Равносторонним называется треугольник, у которого 3 стороны равны.

Для равностороннего треугольника справедливо:

Все углы равны 60°.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.

Прямоугольный треугольник

Triangle right-angled.png Прямоугольным называется треугольник, обладающий прямым углом (прямым называется угол в 90°). При этом обе стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой.

Для прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Соотношения для прямоугольных треугольников

$h_c = \sqrt{a_cb_c} = {ab\over c}$ - формула для высоты, опущенной на гипотенузу,
$a = \sqrt{a_cc}, b = \sqrt{b_cc}$ - катет треугольника через гипотенузу и прилежащий отрезок, отсекаемый опущенной на нее высотой $\ h_c$ ,
$m_c = {c\over 2} = R$ - медиана, опущенная на гипотенузу,
$r = {a+b-c\over 2}$ - формула для радиуса вписанной окружности, верная для прямоугольных треугольников,