Теория категорий

Теория категорий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Некоторые математики считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для практического применения. В то же время, теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике и в теоретической физике.

Определение

Категория

\mathcal{C}

это:

класс объектов $Ob_{\mathcal{C}}$ ;
для каждой пары объектов $X,Y$ задано множество морфизмов $Mor_{\mathcal{C}}(X,Y)$ ;
для пары морфизмов $f\in Mor(X,Y)$ и $g\in Mor(Y,Z)$ определена композиция $g\circ f\in Mor(X,Z)$ ;
для каждого объекта $X$ задан тождественный морфизм $id_X\in Mor(X,X)$ ;

причём выполняются две аксиомы:

операция композиции ассоциативна: $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$ и
тождественный морфизм действует тривиально: $f\circ id_X = id_Y\circ f = f$

Замечание: класс объектов обычно не является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой.

Примеры категорий

Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
Group — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру.
Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы или функторы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий можно записать с помощью диаграмм:

CD_category_theory_axioms.png

Дуальность

Для категории

\mathcal{C}

можно определить дуальную категорию

\mathcal{C}^{op}

, в которой:

объекты совпадают с объектами исходной категории;
морфизмы получаются «обращением стрелок»: $Mor_{\mathcal{C}^{op}}(B,A) \simeq Mor_{\mathcal{C}}(A,B)$

Вообще, для любого утверждения теории категорий можно сформулировать дуальное утверждение с помощью обращения стрелок. Часто дуальное явление обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм

f\in Mor(A,B)

называется изоморфизмом, если существует такой морфизм

g \in Mor(B,A)

, что

g\circ f = id_A

f\circ g = id_B

. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов $End(A) = Mor(A,A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом $id_A$ .

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $Aut(A)$ .

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм - это морфизм

f\in Mor(A,B)

такой, что для любых

g_1,g_2\in Mor(X,A)

из

f\circ g_1 = f\circ g_2

следует, что

g_1=g_2

. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм - это такой морфизм, что для любых $g_1,g_2\in Mor(B,X)$ из $g_1\circ f = g_2\circ f$ следует $g_1=g_2$ .

Биморфизм - это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Универсальный и терминальный объекты

Универсальный объект категории это такой объект, из которого существует единственный морфизм в любой другой объект.

Если универсальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Дуальным образом определяется терминальный или коуниверсальный объект — это такой объект, в который существует единственный морфизм из любого другого объекта.

Пример: В категории Set универсальным объектом является пустое множество

\empty

, терминальным — множество из одного элемента

\{\cdot\}

Пример: В категории Group универсальный и терминальный объект совпадают — это группа из одного элемента.

Прямое произведение, прямая сумма

CD_product.png Прямое произведение объектов A и B это объект A×B с эпиморфизмами

p_1: A\times B\to A

p_2: A\times B \to B

такой, что для любого объекта C с морфизмами

f_1: C\to A

f_2: C\to B

существует единственный морфизм

g: C \to A\times B

такой, что диаграмма на рисунке коммутативна.

Дуально определяется прямая сумма или копроизведение объектов.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set прямое произведение A и B это произведение в смысле теории множеств

A\times B

, а прямая сумма — несвязное объединение

A \sqcup B

Пример: В категории Vect_K прямое произведение это тензорное произведение

A\otimes B

, а прямая сумма — сумма векторных пространств

A\oplus B

Функторы

Функторы это отображения категорий, сохранающие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор $\mathcal{F}: \mathcal{C}\to \mathcal{D}$ ставит в соответствие каждому объекту категории $\mathcal{C}$ объект категории $\mathcal{D}$ , и каждому морфизму $f: A\to B$ морфизм $F(f): F(A)\to F(B)$ так, что

$F(id_A) = id_{F(A)}$ и
$F(g)\circ F(f) = F(g\circ f)$ .

Контравариантный функтор или кофунктор это функтор из $\mathcal{C}$ в $\mathcal{D}^{op}$ , то есть «функтор, переворачивающий стрелки».

Типы категорий

(todo)

Ссылки

"Category Theory" in Stanford Encyclopedia of Philosophy