Теорема Тонелли

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Пусть даны два пространства с мерами $(X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i),\; i=1,2$ . Обозначим $(X_1 \times X_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mu_1 \otimes \mu_2)$ их произведение. Пусть функция $f: X_1 \times X_2 \to \mathbb{R}$ интегрируема относительно меры $\mu_1 \otimes \mu_2$ . Тогда

функция $x_1 \to \int\limits_{X_2} f(x_1,x_2)\, \mu_2(dx_2)$ определена и интегрируема относительно $\mu_1$ ;
функция $x_2 \to \int\limits_{X_1} f(x_1,x_2)\, \mu_1(dx_1)$ определена и интегрируема относительно $\mu_2$ ;
имеют место равенства

\mu_1(dx_1)

\mu_2(dx_2)

Пусть $(\Omega_i,\mathcal{F}_i,\mathbb{P}_i),\,i=1,2$ - вероятностные пространства, и $X:\Omega_1 \times \Omega_2 \to \mathbb{R}$ - случайная величина на $(\Omega_1 \times \Omega_2, \mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2, \mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2)$ . Тогда

\mathbb{E}_{\mathbb{P}_1 \otimes \mathbb{P}_2} = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_1}\left

^* = \mathbb{E}_{\mathbb{P}_2}\left^*\right],

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

\iint\limits_D f(x,y)\, dx\,dy = \int\limits_{a}^b \int\limits_c^d f(x,y)\, dy\,dx = \int\limits_{c}^d \int\limits_a^b f(x,y)\, dx\,dy

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

Gourt Home::Gourt :: Теорема Тонелли — Фубини