\!| cdf =$1-\backslash left(\backslash frac\{x\_\backslash mathrm\{m\}\}\{x\}\backslash right)^k\backslash !$| mean =$\backslash frac\{k\backslash ,x\_\backslash mathrm\{m\}\}\{k-1\}\backslash !$, если $k>1$| median =$x\_\backslash mathrm\{m\}\; \backslash sqrt*\{2\}$| mode =$x\_\backslash mathrm\{m\}\backslash ,$| variance =$\backslash frac\{x\_\backslash mathrm\{m\}^2k\}\{(k-1)^2(k-2)\}\backslash !$ for $k>2$| skewness =$\backslash frac\{2(1+k)\}\{k-3\}\backslash ,\backslash sqrt\{\backslash frac\{k-2\}\{k\}\}\backslash !$ for $k>3$| kurtosis =$\backslash frac\{6(k^3+k^2-6k-2)\}\{k(k-3)(k-4)\}\backslash !$ for $k>4$| entropy =$\backslash ln\backslash left(\backslash frac\{k\}\{x\_\backslash mathrm\{m\}\}\backslash right)\; -\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; -\; 1\backslash !$| mgf =не определена| char =$k(-ix\_\backslash mathrm\{m\}t)^k\backslash Gamma(-k,-ix\_\backslash mathrm\{m\}t)\backslash ,$| }}

Распределе́ние Паре́то в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений.

Определение

---

Пусть случайная величина $X$ такова, что её распределение задаётся равенством:

$\backslash mathbb\{P\}(X\; >\; x)\; =\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{x\_m\}\backslash right)^\{-k\},\backslash ;\; \backslash forall\; x\; \backslash ge\; x\_m$,

где $x\_m,k>0$. Тогда говорят, что $X$ имеет распределение Парето с параметрами $x\_m$ и $k$. Плотность распределения Парето имеет вид:

$f\_X(x)\; =\; \backslash left\backslash \{$

\begin{matrix} \frac{kx_m^k}{x^{k+1}}, & x \ge x_m \\ 0, & x < x_m \end{matrix} \right..

Моменты

---

Моменты случайной величины, имеющей распределение Парето, задаются формулой:

$\backslash mathbb\{E\}\backslash left*=\; \backslash frac\{kx\_m^n\}\{k-n\}$,

откуда в частности:

$\backslash mathbb\{E\}*=\; \backslash frac\{kx\_m\}\{k-1\}$,

$\backslash mathrm\{D\}*=\; \backslash left(\backslash frac\{x\_m\}\{k-1\}\backslash right)^2\; \backslash frac\{k\}\{k-2\}$.

Распределения вероятностей

Pareto-Verteilung | Pareto distribution | Distribución Pareto | Distribution de Pareto | Variabile casuale paretiana | Pareto-jakauma | 帕累托分布