Мно́жество — один из ключевых объектов математики, в частности теории множеств. «Множество есть многое, мыслимое нами как единое» (Г. Кантор). Это не является в полном смысле логическим определением понятия множество, а всего лишь пояснением (ибо определить понятие — значит найти такое родовое понятие, в которое данное понятие входит в качеств вида, но множество — это, пожалуй, самое широкое понятие математики и логики).

Существует два подхода к понятию множества.

Первый — так называемая «наивная теория множеств» (созданная Кантором, см. ниже историю). Дать определение чему-либо это значит выразить понятие через ранее определенные. При этом должны быть некоторые базовые понятия, которые формально не определены. Множество как раз одно из таких понятий. В рамках наивной теории множеств множеством считается любой четко определенный набор объектов. Вольное использование наивной теории множеств приводит к некоторым парадоксам.

Второй — аксиоматическая теория множеств.

История определения

До 19-го века считалось, что точного определения множества нет. Множеством считалось любое скопление предметов.

В конце 19-го века Георг Кантор определил множество как «единое имя для совокупности всех объектов, обладающих данным свойством». Эти объекты называются элементами множества. Множество объектов, обладающих свойством $A(x)\backslash !$, обозначается $\backslash \{x|A(x)\backslash \}\backslash !$. Если некое множество $Y=\backslash \{x|A(x)\backslash \}\backslash !$, то $A(x)\backslash !$ называется характеристическим свойством множества $Y\backslash !$.

Эта концепция привела к Парадоксам, в частности, к Парадоксу Рассела.

После этого теория множеств была аксиоматизирована. На сегодняшний день множество определяется как модель удовлетворяющая аксиомам ZFC (аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора)). При таком подходе в некоторых математических теориях возникают совокупности объектов, которые не являются множествами. Такие совокупности называются классами (различных порядков).

См. также

Теория множеств

مجموعة (رياضيات) | Мноства | Множество | সেট | Conjunt | Množina | Menge (Mathematik) | Σύνολο | Set | Aro | Conjunto | Hulk | مجموعه (ریاضی) | Joukko | Ensemble | קבוצה (מתמטיקה) | Halmaz | Ensemblo | Insieme (insiemistica) | 集合 | ಗಣ | 집합 | Aibė | Множество | Verzameling (wiskunde) | Mengde | Zbiór | Conjunto | Mulţime | Množina | Množica | Bashkësitë | Скуп | Mängd | Множина | 集合