Ме́ра — общее название различных типов обобщений понятий Евклидовой длины, площади и $n$-мерного объёма для более общих пространств. Если обратное не указано явно то обычно подразумевается, что счётно-аддитивная мера.

Определения

---

Конечно-аддитивная мера

Пусть задано пространство $X$ с выделенным классом подмножеств $\backslash mathcal\{F\}$ замкнутым отностельно конечных пересечений и объединений. Функция $\backslash mu:\backslash mathcal\{F\}\; \backslash to*$ называется конечно-аддитивной мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. $\backslash mu(\backslash varnothing)\; =\; 0$;
2. Если $\backslash \{E\_n\backslash \}\_\{n=1\}^\{N\}\backslash subset\backslash mathcal\{F\}$ - конечное семейство попарно неперескающихся множеств из $\backslash mathcal\{F\}$, т.е. $E\_i\; \backslash cap\; E\_j=\; \backslash varnothing,\backslash ;\; i\backslash not=\; j$, то

$\backslash mu\backslash left(\backslash bigcup\backslash limits\_\{n=1\}^\{N\}E\_n\backslash right)\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{n=1\}^\{N\}\backslash mu(E\_n)$.

Альтернативное определение

Система множеств $\backslash sigma$ называется полукольцом, если она содержит пустое множество, замкнута по отношению к образованию пересечений и обладает тем свойством, что из принадлежности к $\backslash sigma$ множеств А и $A\_1\backslash subset\; A$ вытекает возможность представления в виде $A=\backslash bigcup\_\{k=1\}^n\; A\_k$, где $A\_k$ - попарно непересекающиеся множества из $\backslash sigma$, первое из которых есть заданное множество $A\_1$.

Функция множества $\backslash mu(A)$ называется мерой если:

• область определения $\backslash sigma\_\backslash mu$ функции $\backslash mu\; (A)$ есть полукольцо множеств.
• значения $\backslash mu(A)\backslash geq\; 0$
• $\backslash mu(A)$ - аддитивна, т.е. для любого конечного разложения $A=A\_1\backslash cup\; A\_2\; \backslash cup\; ...\; \backslash cup\; A\_n$, $A\_i\backslash cap\; A\_j\; =\; \backslash varnothing$

будет выполнено $\backslash mu(A)=\backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash mu(A\_k)$

Счётно-аддитивная мера

Пусть задано пространство $X$ с выделенной σ-алгеброй $\backslash mathcal\{F\}$. Функция $\backslash mu:\backslash mathcal\{F\}\; \backslash to*$ называется счётно-аддитивной (или σ-аддитивной) мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. $\backslash mu(\backslash varnothing)\; =\; 0$;
2. (σ-аддитивность) Если $\backslash \{E\_n\backslash \}\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash subset\backslash mathcal\{F\}$ - счётное семейство попарно неперескающихся множеств из $\backslash mathcal\{F\}$, т.е. $E\_i\; \backslash cap\; E\_j\; =\backslash varnothing,\backslash ;\; i\backslash not=\; j$, то

$\backslash mu\backslash left(\backslash bigcup\backslash limits\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}E\_n\backslash right)\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash mu(E\_n)$.

Замечания

• Очевидно, любая счётно-аддитивная мера является конечно-аддитивной, но не наоборот.
• Если мера всего пространства конечна, т.е. , то такая мера сама по себе называется конечной. В противном случае мера бесконечна.

Примеры

---

• Мера Жордана — пример конечно-аддитивной меры;
• Мера Лебега — пример бесконечной меры;
• Вероятность — пример конечной меры.

Вариации и обобщения

---

• Заряд (теория меры)

Теория меры

نظرية القياس | Maßtheorie | Measure (mathematics) | Teoría de la medida | Mittateoria | Mesure (mathématiques) | מידה (מתמטיקה) | Mértékelmélet (matematika) | Misura (matematica) | 測度論 | Maat (wiskunde) | Miara (matematyka) | Mått (matematik) | ทฤษฎีการวัด | Теорія міри | 测度