Математи́ческий ма́ятник — механическая система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в поле тяжести. Период малых колебаний математического маятника длины l в поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

$T\; =\; 2\backslash pi\; \backslash sqrt\{l\; \backslash over\; g\}$

и не зависит от амплитуды.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на нерастяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

Несмотря на свою простоту, с математическим маятником связан ряд интересных явлений.

• Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
• Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

Уравнение колебаний маятника

---

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

$\backslash dot\; x=-a\backslash sin\; x,$

где $a$ ― положительная константа. Неизвестная функция $x(t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; $a=g/l$, где $l$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия имеет вид:

$\backslash dot\; x\; =\; -\; ax$.

Ссылки

---

Обратите внимание на великолепную коллекцию Java-апплетов, моделирующих поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.

Базовые понятия физики | Дифференциальные уравнения

Махало | Matematisk pendul | Pendel | Pendulum | آونگ | Pendule (physique) | מטוטלת מתמטית | Pendolo | Bandul | Slinger (natuurkunde) | Wahadło | Pêndulo simples | Nihalo | Pendel