Физические процессы, вообще говоря, описываются в терминах операций (наблюдений, экспериментов), связывающих физические объекты. Сложность подлинных физических ситуаций требует упрощённых описаний с помощью словесных, символических и даже логических моделей, которые «абстрагируют», подходящим образом выбранные «существенные» свойства физических объектов и ситуаций.

Математика в самом общем смысле слова имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель охватывает класс неопределяемых (абстрактных, символических) математических объектов, таких как числа или векторы, и отношения между этими объектами.

Математическое отношение — это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения могут быть описаны при помощи математических операций, связывающих один или несколько объектов (операнд или операнды) с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).

Абстрактная модель с её объектами произвольной природы и отношениями определяется непротиворечивым набором правил (определяющих аксиом), вводящими допустимые операции и устанавливающих общие отношения между их результатами (аксиоматическое определение математической модели с помощью её свойств). Конструктивное определение вводит новую математическую модель, пользуясь уже известными математическими понятиями (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел). Непротиворечивость аксиоматического определения должна быть доказана конструктивным построением примера, удовлетворяющего определяющим аксиомам (доказательство существования). Кроме того, проверяют взаимную независимость определяющих аксиом.

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные стороны физической ситуации, если можно установить правила соответствия, связывающие специфические физические объекты и отношения с определёнными математическими объектами и соотношениями. Поучительными и/или интересным может также быть и построение математических моделей, для которых в физическом мире аналогов не существует. Наиболее общеизвестными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющие свойства этих моделей представляют собой более или менее непосредственные абстракции физических процессов (счёт, упорядочение, сравнение, измерение). Объекты и операции более общих математических моделей часто ассоциируется с множествами действительных чисел, которые могут быть соотнесены с результатами физических измерений.

Современная (абстрактная) алгебра имеет дело с математическими моделями, определяемыми в терминах бинарных операций («алгебраических» операций, обычно представляющих собой различные типы «сложения» и «умножения»), которые связывают пары математических объектов (оператор и операнды) с соответствующими результатами операций. Некоторые из наиболее употребительных моделей такого рода:

• с одной определяющей операцией (абстрактное умножение или сложение): группы;
• с двумя определяющими операциями (абстрактное умножение и сложение): кольца, поля;
• включающие в себя более одного класса математических объектов векторные пространства, линейные алгебры, булевы алгебры.

Огромное практическое значение имеет понятие гомоморфизм, которое позволяют представить одну модель другой моделью. Можно в частности, представлять математические объекты некоторыми множествами действительных чисел (аналитическая геометрия, матричное и тензорное представления). Изоморфизм есть отношение эквивалентности между моделями: свойства целого класса изоморфных моделей можно выводить из (или рассматривать на примере) свойств любой модели этого класса.

«Литература»

---

Корн Г., Корн Т., Справочник по математике — 1970, стр. 330-333

Теоретическая физика

Model (matematik) | Mathematisches Modell | Mathematical model | Vikipedio:Projekto matematiko/Matematika modelo | Modelo matemático | Modèle mathématique | Wiskundig model | Model matematyczny | Modelo (matemática) | Matematický model | Математична модель | 数学模型