Математика

Related Topics:
Математика

Матема́тика — наука, занимающаяся изучением чисел, структур, пространств и преобразований. Изначально математика использовалась для счёта, вычислений, измерений, а также для изучения форм и движения физических объектов путём дедуктивных рассуждений и абстракций.

Математика также предлагает формальный язык общения, используемый для эффективной передачи сути математических знаний. В виду этого, математика — важнейшее и необходимое средство для изучения естественных наук, проектирования и экономики.

Слово «математика» произошло от , означающего «науку, знание, изучение», и , означающего «любовь к познанию».

История

Академиком А.Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

Период зарождения математики, на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал;
Период элементарной математики, начинающийся в VI-V вв. до н.э. и завершающийся в конце XVI в. ("Запас понятий, с которыми имела дело математика до начала XVII в., составляет и до настоящего времени основу «элементарной математики», преподаваемой в начальной и средней школе" );
Период математики переменных величин, охватывающий XVII-XVIII вв., "который можно условно назвать также периодом «высшей математики»";
Период современной математики — математики XIX-XX вв., в ходе которого математикам пришлось "отнестись к процессу расширения предмета математических исследований сознательно, поставив перед собой задачу систематического изучения с достаточно общей точки зрения возможных типов количественных отношений и пространственных форм".

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие как время: дни, сезоны, годы. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверное, древние люди сначала выражали количество путем рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему веревочных узлов, так называемые кипу.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. Однако все исследуемые математикой объекты имеют прообразы в реальном мире, более или менее похожие на свои математические модели. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — цель, к которой стремится математика.

Изучение объектов в математике происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируется список аксиом и вводятся необходимые определения, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают ценные теоремы.

Математика и образование

В школе изучается элементарная математика — арифметика, функции, алгебра; в ВУЗе — высшая математика: дифференциальное, интегральное исчисления, топология, теория операторов и всё остальное, не включаемое в элементарную математику. Высшая математика как правило основана на высшем уровне абстракции, чем элементарная, и менее просто выводится из свойств окружающего мира.

Основные темы математики

Числа

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20"

1, 2, \ldots

0, 1, -1, \ldots

1, -1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.12,\ldots

Натуральные числа Целые числа Рациональные числа

1, -1,\frac{1}{2},0.12,\pi,\sqrt{2},\ldots

-1,\frac{1}{2},0.12,\pi,3i+2, e^{i\pi/3},\ldots

1,i,j,k, \pi j - \frac{1}{2}k, \dots

Вещественные числа Комплексные числа Кватернионы

Числа – Натуральные числа – Целые числа – Рациональные числа – Вещественные числа – Комплексные числа – Гиперкомплексные числа – Кватернионы – Октонионы – Седенионы – Гипервещественные числа – Сюрреальные числа – p-адические числа – Математические постоянные – Названия чисел – Бесконечность – Базы

Преобразования

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="20" || Vectorfield_jaredwf.png ||

\int 1_S\,d\mu=\mu(S)

Арифметика Дифференциальное и интегральное исчисление Векторный анализ Анализ || LorenzAttractor.png Дифференциальные уравнения Динамические системы Теория хаоса

Арифметика – Векторный анализ – Анализ – Теория меры – Дифференциальные уравнения – Динамические системы – Теория хаоса – Перечень функций

Структуры

Абстрактная алгебра – Теория групп – Алгебраические структуры – Алгебраическая геометрия – Теория чисел – Топология – Линейная алгебра – Универсальная алгебра – Теория категорий – Теория последовательностей

Пространственные отношения

Более визуализированные подходы в математике.

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15" || Taylorsine.gif || OsculatingCircle.png || Torus.jpg || Koch curve.png Геометрия Тригонометрия Дифференциальная геометрия Топология Фрактальная геометрия

Геометрия – Тригонометрия – Алгебраическая геометрия – Топология – Дифференциальная геометрия – Дифференциальная топология – Алгебраическая топология – Линейная алгебра – Фрактальная геометрия

Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются, над объектами способными принимать только специфические, отдельные значения (не непрерывные).

{| style="border:1px solid #999; text-align:center;" cellspacing="15" ||