\right]| mean =$e^\{\backslash mu+\backslash sigma^2/2\}$| median =$e^\{\backslash mu\}$| mode =$e^\{\backslash mu-\backslash sigma^2\}$| variance =$(e^\{\backslash sigma^2\}\backslash !\backslash !-1)\; e^\{2\backslash mu+\backslash sigma^2\}$| skewness =$e^\{-\backslash mu-\backslash sigma^2/2\}(e^\{\backslash sigma^2\}\backslash !\backslash !+2)\backslash sqrt\{e^\{\backslash sigma^2\}\backslash !\backslash !-1\}$| kurtosis =$e^\{4\backslash sigma^2\}\backslash !\backslash !+2e^\{3\backslash sigma^2\}\backslash !\backslash !+3e^\{2\backslash sigma^2\}\backslash !\backslash !-6$| entropy =$\backslash frac\{1\}\{2\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ln(2\backslash pi\backslash sigma^2)\; +\; \backslash mu$| mgf =| char =| }}

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей - это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение

---

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

$f\_X(x)\; =\; \backslash left\backslash \{$

\begin{matrix} \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln x - \mu)^2/2\sigma^2}, & x > 0 \\ 0, & x \le 0 \end{matrix} \right., где $\backslash sigma>0,\backslash ;\; \backslash mu\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$. Тогда говорят, что $X$ имеет логнормальное распределение с параметрами $\backslash mu$ и $\backslash sigma$. Пишут: $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{LogN\}(\backslash mu,\backslash sigma^2)$.

Моменты

---

Формула для $k$-го момента логнормальной случайной величины $X$ имеет вид:

$\backslash mathbb\{E\}\backslash left*=\; e^\{k\backslash mu\; +\; \backslash frac\{k^2\backslash sigma^2\}\{2\}\},\backslash ;\; k\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\},$

откуда в частности:

$\backslash mathbb\{E\}*=\; e^\{\backslash mu\; +\; \{\backslash sigma^2\; \backslash over\; 2\}\}$,

$\backslash mathrm\{D\}*=\backslash left(e^\{\backslash sigma^2\}-1\backslash right)\; e^\{2\backslash mu\; +\; \backslash sigma^2\}$.

Свойства логнормального распределения

---

• Если $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n$ - независимые логнормальные случайные величины, такие что $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{LogN\}(\backslash mu,\; \backslash sigma\_i^2)$, то их произведение также логнормально:

$Y\; =\; \backslash prod\backslash limits\_\{i=1\}^n\; X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{LogN\}\backslash left(\backslash mu,\; \backslash sum\backslash limits\_\{i=1\}^n\; \backslash sigma^2\_i\backslash right)$.

Связь с другими распределениями

---

• Если $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{LogN\}(\backslash mu,\backslash sigma^2)$, то

$Y\; =\; \backslash ln\; X\; \backslash sim\; \backslash mathrm\{N\}(\backslash mu,\backslash sigma^2)$.

Распределения вероятностей

Logarithmische Normalverteilung | Log-normal distribution | Distribución lognormal | Variabile casuale logonormale | Sebaran Log-normal