Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов $a$ и $b$ имеет место $a\backslash le\; b$ или $b\backslash le\; a$.

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множество ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения

---

Сечением линейно упорядоченного множества $P$ называется разбиение его на два подмножества $A$ и $B$ так, что $A\backslash cup\; B=P$, $A\backslash cap\; B=\backslash emptyset$ и для любых $a\backslash in\; A$ и $b\backslash in\; B$, $a\backslash le\; b$ Классы $A$ и $B$ называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

• скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
• дедекиндово сечение ― в нижнем (верхнем) классе имеется наибольший (наименьший) элемент, но в верхнем (нижнем) классе нет наименьшего (наибольшего);
• щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество $D$ линейно упорядоченного множества $P$ называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества $P$ содержит элементы, принадлежащие $D$.

Свойства

---

• Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
• Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).
• Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
• Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству линейно упорядоченному множеству всех двоичных дробей отрезка $1$.
• Решётка $L$ изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.

Теория множеств

Total order | Orden total | Ordre total | ordine totale | Porządek liniowy | 全序关系