Интерполяция

Интерполя́ция — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

В научных и инженерных расчётах часто имеется некий набор значений, полученный случайной выборкой или экспериментальным путём. На основании этого набора обычно требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью «лечь» имеющиеся значения. Такая задача называется аппроксимацией кривой. Интерполяция является такой разновидностью аппроксимации, при которой полученная функция проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации сложной функции другой, простой функцией. Если известна некая функция, которая слишком сложна для производительных вычислений, то можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а затем по этим точкам построить (интерполировать) более простую функцию. Разумеется, при использовании упрощенной функции в вычислениях не удастся получить такие же результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса-Торина (Riesz-Thorin theorem) и теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz theorem), на которых основаны многие другие работы.

Определения

Пусть имеется n значений x_i, каждому из которых соответствует своё значение y_i. Требуется найти такую функцию F, что:

F(x_i) = y_i \mbox{ , } i=1,\ldots,n\,\!

При этом:

x_i называют узлами интерполяции
пары (x_i , y_i) называют точками данных
разницу между «соседними» значениями x_i-x_i-1 — шагом
функцию F (x) — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Способы интерполяции

Интерполяция функции одной переменной

Метод конечных разностей
ИМН-1 и ИМН-2
Полином Лагранжа (интерполяционный полином)
Сплайн-функция
Интреполирование по формулам Ньютона
Интреполирование по формулам Гауса

Обратное интерполирование (вычисление x при заданном y

Интерполяция функции двух (и более) переменных

Смежные концепции

Экстраполяция - методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
Аппроксимация - методы построения приближённых кривых