Дивергенция (расходимость) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.

Определение

---

Оператор дивергенции обозначается так: div F.

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

$\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{F\}$

=\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

$\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{F\}$

=\nabla \mathbf{F}

Физическая интерпретация

---

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или потребителем потока поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:

$\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\{F\}$

= \lim_{S \rightarrow 0} {\Phi_\mathbf{F} \over V}

где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Это определение применимо, в отличие от первого, не только к декартовым системам координат

Например, если в качестве векторного поля мы возьмём совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет нам местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Свойства

---

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность

$\backslash operatorname\{div\}(\; a\backslash mathbf\{F\}\; +\; b\backslash mathbf\{G\}\; )$

= a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a иb.

• Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$\backslash operatorname\{div\}(\backslash varphi\; \backslash mathbf\{F\})$

= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),

или

$\backslash nabla\backslash cdot(\backslash varphi\; \backslash mathbf\{F\})$

= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).

• Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:

$\backslash operatorname\{div\}(\backslash mathbf\{F\}\backslash times\backslash mathbf\{G\})$

= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),

или

$\backslash nabla\backslash cdot(\backslash mathbf\{F\}\backslash times\backslash mathbf\{G\})$

= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).

• Дивергенция от градиента есть лапласиан:

$\backslash operatorname\{div\}\; (\backslash operatorname\{grad\}(\backslash varphi))\; =\; \backslash mathcal\{4\}\backslash varphi$

• Дивергенция от ротора:

$\backslash operatorname\{div\}\; (\backslash operatorname\{rot\}(\backslash mathbf\{F\}))\; =\; 0$

См. также

---

• Векторный анализ
• Теорема Остроградского-Гаусса
• Ротор
• Градиент
• Оператор набла
• Лапласиан

Векторный анализ

Divergència | Divergence | Divergenz (Mathematik) | Divergence | Divergencia | דיברגנץ | Divergencia | Divergenza | 発散 | 다이버전스 | Divergentie (wiskunde) | Dywergencja | Divergens | Diverjans | 散度