Mulţimea este unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii moderne. Deşi teoria mulţimilor a apărut abia la sfârşitul secolului XIX, aceasta este acum omniprezentă în educaţia matematică, încă din şcoala elementară. Acest articol este o scurtă introducere în ceea ce matematicienii numesc teoria "intuitivă" sau "naivă" a mulţimilor; pentru mai multe detalii vedeţi teoria naivă a mulţimilor. Pentru o consideraţie riguroasă, axiomatică, vedeţi teoria axiomatică a mulţimilor.

Introducere

---

În mod neriguros, o mulţime este doar o colecţie bine definită de obiecte, considerate ca un întreg. Obiectele dintr-o mulţime sunt numite elemente. Elementele unei mulţimi pot fi orice: numere, persoane, litere ale alfabetului, alte mulţimi, etc. Prin convenţie mulţimile sunt notate cu majuscule: A, B, C, etc.

Două mulţimi A şi B se numesc egale — şi se notează A = B — dacă au aceleaşi elemente.

Descrierea mulţimilor

---

Descrierea folosind cuvinte sau liste

Nu toate mulţimile au descrieri precise; ele pot fi doar colecţii arbitrare, fără vrei regulă exprimabilă, care să specifice care elemente fac parte din mulţime şi care nu.

Unele mulţimi pot fi descrise în cuvinte, cum ar fi:

A este mulţimea primelor patru numere întregi pozitive.

B este mulţimea culorilor de pe steagul Franţei.

Prin convenţie, o mulţime poate fi definită listând explicit elementele sale între acolade, de exemplu:

C = {4, 2, 1, 3}

D = {roşu, alb, albastru}

De notat că cele două descrieri diferite definesc aceeaşi mulţime. De exemplu, pentru mulţimile definite mai sus, A şi C sunt identice, deoarece ele au exact aceiaşi membri. Notaţia A = C este folosită pentru a exprima această egalitate. Analog, pentr mulţimile definite mai sus, B = D.

Identitatea mulţimilor nu depinde de ordinea în care elementele sunt listate, nici de prezenţa repetiţiilor în listă. De exemplu, {6, 11} = {11, 6} = {11, 11, 6, 11}.

Descrierea folosind notaţii matematice

Pentru mulţimi mari (adică mulţimi care conţin multe elemente), devine foarte incomodă scrierea întregii liste de elemente conţinute. De exemplu, E = {primele o mie de numere pozitive} at fi, ca listă, foarte greoi atât de scris cât şi de citit. Totuşi, matematicienii rareori descriu E în cuvinte ca mai sus, preferând în schimb să folosească scurtături simbolice:

E = {1, 2, 3, ..., 1000}

Se poate folosi o listă abreviată poate fi folosită pentru a descrie o mulţume cum ar fi E, unde elementele pot urma un şablon evident cititorului. Întreaga listă este abreviată folosind simbolul (...). Cânnd se foloseşte această notaţie, trebuie avut grijă să se dea suficiente elemente pentru a face clar şablonul. De exemplu, următoarea mulţime ar putea, în funcţie de context, să reprezinte fie primele şaisprezece numere întregi, fie primele cinci puteri ale lui doi:

X = {1, 2, ..., 16}

Dacă, pe de altă parte, proprietatea caracterizatoare descrie un şablon mai puţin evident, atunci este nerecomandat să se folosească o listă abreviată, care doar ar deruta cititorul. De exemplu, citind

F = {–4, –3, 0, ..., 357}

nu este clar deloc că de fapt

F = {primele douăzeci de numere mai mici cu patru decât un pătrat perfect}.

În asemenea condiţii, matematicienii descriu proprietatea caracteristică a mulţimii folosind o notaţie matematică. De exemplu:

F = {$n^2$ – 4 : n număr întreg şi 0 ≤ n ≤ 19}

În această descriere, două puncte (:) înseamnă astfel încât, iar matematicianul interpretează această descriere ca

F este mulţimea numerelor de forma $n^2$ – 4, astfel încât n este un număr întreg între 0 şi 19 inclusiv. (Uneori se foloseşte bara verticală | în loc de două puncte.)

O listă explicită a conţinutului lui F se poate găsi evaluând expresia $n^2$ – 4 pentru fiecare valoare a lui n de la 0 la 19.

Apartenenţa la mulţime

Dacă un obiect este sau nu element al unei anumite mulţimi acest lucru este simbolizat de $\backslash in$, respectiv $\backslash notin$. Astfel, de exemplu, considerând mulţimile definite mai sus:

• $4\; \backslash in\; A$ şi $285\; \backslash in\; F$ (pentru că 285 = 17² − 4); dar

• $9\; \backslash notin\; F$ şi $\backslash mathrm\{verde\}\backslash \; \backslash notin\; B$.

Cardinalitatea unei mulţimi

---

Fiecare mulţime descrisă mai sus are un număr bine definit de membri; de exemplu, mulţimea A are patru membri, pe când mulţimea B are trei membri.

O mulţime poate avea şi zero membri. O astfel de mulţime este denumită mulţimea vidă (sau mulţimea nulă) şi este reprezentată de simbolul ø. De exemplu, mulţimea A a tuturor pătratelor cu trei laturi are zero membri, şi astfel A = ø. Ca şi numărul zero, deşi aparent trivială, mulţimea vidă este foarte importantă în matematică.

O mulţime poate avea şi un număr infinit de membri; de exemplu, mulţimea numerelor naturale este infinită.

Submulţimi

---

Dacă fiecare membru al mulţimii A este şi membru al mulţimii B, atunci A se spune că este submulţime a lui B, şi se scrie că $A\; \backslash subseteq\; B$, citit şi A este inclus în B. Echivalent, putem scrie $B\; \backslash supseteq\; A$, citit B include A, sau B conţine A. Relaţia dintre mulţimi stabilită de $\backslash subseteq$ se numeşte incluziune sau conţinere.

Dacă A este o submulţime a lui B, dar nu este egală cu B, atunci A se numeşte submulţime proprie a lui B, ceea ce se scrie $A\; \backslash subset\; B$ sau $B\; \backslash supset\; A$. Totuşi, în literatură aceste simboluri se cutesc la fel ca $\backslash subseteq$ şi $\backslash supseteq$, deci se preferă adesea să se folosească simbolurile mai explicite $\backslash subsetneq$ şi $\backslash supsetneq$ şi pentru incluziunea strictă.

A este o submulţime a lui B