Teoria das categorias

Teoria das Categorias é uma teoria matemática que trata de forma abstrata das estruturas matemáticas e dos relacionamentos entre elas. É conhecida, em parte como brincadeira, como "generalização do sem-sentido abstrato". Teoria das Categorias foi pela primeira vez apresentada por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane em 1945, como uma teoria relacionada com topologia algébrica.

Ela é uma generalização da Teoria dos Conjuntos. Nela são estudados objetos e morfismos entre estes. Estes objetos podem ser entendidos como conjuntos estruturados e os morfismos (também chamados de setas) como funções entre estes conjuntos, embora, nos casos mais gerais de categorias, este paralelo não possa ser feito.

Teoria das categorias pode ser entendida como um "jogo de setas", em que se abstrai o significado das construções.

Ela fornece uma descrição abstrata de problemas de matemática, desta forma se constituindo em um jargão e um ambiente consistente e unificado para o estudo de diversas áreas da matemática. A capacidade de generalização, abstração e unificação de teorias é o grande mérito de Teoria das Categorias.

Assim, ela fornece mecanismos para representar várias estruturas matemáticas, como por exemplo transformações naturais, produtos cartesianos, funções, topologias, etc.

As aplicações de Teoria das Categorias se extendem por áreas como álgebra, teoria da recursividade, semântica formal, etc.

Composição

A única operação exigida em uma categoria é a composição. Composição em categorias é uma generalização da composição de funções de teoria dos conjuntos.

Em teoria dos conjuntos, dadas duas funções $f:A\rightarrow B$ (tendo como domínio o conjunto $A$ e como codomínio o conjunto $B$ ) e $g:B\rightarrow C$ , definimos $h:A\rightarrow C$ como sendo a composição de $f$ e $g$ , $h=g\circ f$ , desde que $h(x)=g(f(x))$ para todo $x\in A$ .

Definição de categoria

Uma categoria consiste nos seguintes elementos:

Uma classe de objetos $a, b, c, ...$
Para cada par de objetos $a,b$ , um conjunto de morfismos ou setas de $a$ para $b$ , denotados por $f:a\rightarrow b$ (e neste caso se diz que $a$ é o objeto origem e $b$ é o objeto destino da seta);
Uma operação chamada identidade, $id$ , que associa a cada objeto $a$ um morfismo $id_a:a\rightarrow a$ que tem origem e destino em $a$ ;
Uma operação de composição que associa a cada par de morfismos f:a\rightarrow b e g:b\rightarrow c um morfismo g\circ f:a\rightarrow c chamado morfismo composto de f e g, tais que os seguintes axiomas são satisfeitos:
- (associatividade) Sejam $f:a\rightarrow b$ , $g:b\rightarrow c$ e $h:c\rightarrow d$ . Então $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$ ;
- (identidade) Para todo objeto $a$ , existe um morfismo $id_a:a\rightarrow a$ chamado morfismo identidade de $a$ , tal que para todo $f:a\rightarrow b$ , tem-se $f\circ id_a=f$ e para todo $g:c\rightarrow a$ , tem-se $id_a\circ g=g$ .

Diagramas

Associatividadecat.png Diagramas servem para representar categorias. Se a composição de todos os caminhos entre dois objetos de um diagrama são iguais, diz-se que o diagrama comuta ou que ele é comutativo.

Podemos expressar propriedades de Teoria das Categorias através de diagramas comutativos. Um exemplo é o diagrama ilustrado ao lado. Dados $h:a\rightarrow b$ , $g:b\rightarrow c$ e $f:c\rightarrow d$ que representa a propriedade associativa, $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$ .

Exemplos de categorias

A categoria dos conjuntos, denotada por Set ou Ens. Tem por objetos conjuntos e por morfismos as funções entre conjuntos. A composição de morfismos é dada pela composição usual de funções.
A categoria dos Grupos. Tem por objetos grupos e por morfismos os homomorfismos de grupos. A composição é dada pela composição de funções; a composição de homomorfismos de grupo é ainda um homomorfismo de grupo.
A categoria dos espaços topológicos. Os objetos são os espaços topológicos; os morfismos são as aplicações contínuas. A composição é a usual.
A categoria dos espaços vetoriais. Os objetos são os espaços vetoriais; os morfismos são as transformações lineares.
Um grafo orientado define uma categoria, tendo por objetos os nós ou vértices do grafo e por morfismos os caminhos ao longo do grafo. A composição de morfismos é definida pela concatenação de caminhos. Assim, existe um morfismo entre dois nós se existir um caminho, no grafo, que ligue os dois nós.
Um conjunto parcialmente ordenado $A$ define uma categoria, tendo por objetos os elementos do conjunto $A$ . Um único morfismo entre dois elementos $a$ e $b$ é definido se $a\leq b$ . A lei de composição decorre da transitividade da relação de ordem.

Dualidade

Dualidade é uma das noções mais poderosas de Teoria das Categorias. Dada uma definição em uma categoria, para obter o conceito dual basta inverter as setas.

Dualidade é um dos conceitos mais poderosos de Teoria das categorias pois permite herdar resultados da categoria original para a dual e vice-versa.

Mono, Epi e Iso

Seja uma categoria C e objetos

a

b

desta categoria.

Uma seta $h:a\rightarrow b$ é dita Monomorfismo (ou mono) se e somente se $h\circ g=h\circ f\Rightarrow g=f$ . Ou seja, uma seta é mono se ela pode ser cancelada a esquerda de uma composição.

Em Set uma seta mono pode ser entendida como uma função injetora.

Uma seta $h:a\rightarrow b$ é dita Epimorfismo (ou epi) se e somente se $g\circ h=f\circ h\Rightarrow g=f$ . Ou seja, uma seta é epi se ela pode ser cancelada a direita de uma composição.

Em Set uma seta epi é uma função sobrejetora.

Finalmente, uma seta $h:a\rightarrow b$ é Isomorfismo (ou iso) se e somente se existe $g:b\rightarrow a$ tal que $g\circ h=id_a$ e $h\circ g=id_b$ .

Toda seta iso é mono e epi, embora o contrário não seja necessariamente verdade. Por exemplo, na categoria formada por dois objetos $a$ e $b$ , os morfismos identidade, e um único morfismo $f:a\rightarrow b$ , $f$ é um monomorfismo e um epimorfismo, porém não é um isomorfismo.

Em Set podemos pensar uma seta iso como sendo uma função bijetora.

Objetos isomórficos

Dois objetos

a

b

de uma categoria são isomórficos,

a\cong b

, se existe uma seta

h:a\rightarrow b

que é iso.

Isomorfismo estabelece, em certo grau de abstração, uma relação de "semelhança" ou "equivalência" entre objetos.

Objetos inicial e terminal

Objeto inicial e objeto terminal são as contruções mais simples em Teoria das Categorias.

Seja C uma categoria. Um objeto $0$ é inicial se e somente se para qualquer objeto $b$ existe um único $f:0\rightarrow b$ . O objeto inicial é uma noção universal, ou seja, definida pela existência e unicidade de morfismos.

Um exemplo de objeto inicial em Set é o conjunto vazio, $\emptyset$ , pois existe uma única função total que tem como origem $\emptyset$ e tem como destino qualquer outro conjunto, e esta é a função vazia (ou seja, aquela em que o gráfico da função é vazio).

O objeto inicial é único, a não ser por isomorfismos.

O objeto terminal, $t$ , é simplesmente a noção dual de objeto inicial. Significa que, dado um objeto $b$ da categoria, existe um único $f:b\rightarrow t$ .

Em Set qualquer conjunto unitário (conjunto com um único elemento) é terminal. Isto ocorre pois, dado qualquer outro conjunto, só existe uma função total com origem neste conjunto e destino no conjunto unitário, que é a função constante (aquela em que os valores da função para todo o domínio são iguais).

Produtos e Limites

O conceito de limite incorpora a idéia de uma construção universal, ou seja, uma construção que tem um comportamento privilegiado ("ótimo") em relação a todas as outras que satisfazem determinada propriedade. O limite é dado pela existência de uma seta única entre todas estas construções e a construção que é considerada "ótima".

Prodcat.png Um dos exemplos mais simples de limite em Teoria das Categorias é o produto categorial. Ele é uma generalização do produto cartesiano. O produto categorial também é uma noção universal.

Seja C uma categoria e $a$ e $b$ dois objetos da categoria C. O produto categorial de $a$ e $b$ é um objeto $a\times b$ e dois morfismos $p_a:a\times b\rightarrow a$ e $p_b:a\times b\rightarrow b$ , tal que dado qualquer objeto $c$ da categoria e para quaisquer morfismos $f:c\rightarrow a$ e $g:c\rightarrow b$ existe exatamente um $h:c\rightarrow a\times b$ tal que o diagrama da figura ao lado comuta. Os morfismos $p_a$ e $p_b$ são chamados projeções.

Podemos chamar o objeto $c$ junto com as setas $f$ e $g$ de pré-produto.

Naturalmente podemos definir o conceito dual ao produto categorial que é chamado de coproduto. Para isto basta inverter as setas do diagrama do produto.

O produto categorial é um exemplo de limite, pois é dado pela existência de uma seta única (neste caso a seta $h$ ) entre qualquer outro pré-produto e ele.

Outros exemplos da noção de limites em Teoria das Categorias são o equalizador, o produto fibrado, e o Cone.

Functores

Functores são mapeamentos entre categorias que preservam estruturas. Eles podem ser entendidos como homomorfismos na categoria de todas as categorias pequenas (ou seja, a categoria que tem como objetos todas as categorias compostas por objetos que são conjuntos).

Um functor (covariante) $F$ da categoria C para a categoria D:

associa para cada objeto $x$ em C um objeto $F(x)$ em D;
associa para cada morfismo $f : x \rightarrow y$ um morfismo $F(x):F(x)\rightarrow F(y)$

tal que as seguintes propriedades valem:

$F(id_x)=id_{F(x)}$
$F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ para todos os morfismos $f:x\rightarrow y$ e $g:y\rightarrow z$ .

Aplicações de Teoria das Categorias

Artigos sobre categorias

Referências

Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Barr, Michael & Wells, Charles, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, London, UK, 1990.