Pitágoras

Pitágoras (do grego Πυθαγόρας) foi um filósofo grego que nasceu em Samos pelos anos de 571 a.C. e 570 a.C. e morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C. em Metaponto.

A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome signfica altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois sua mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança seria um ser excepcional.

Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega chamada em sua homenagem de pitagórica.

A escola de Pitágoras

Segundo o pitagorismo,a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.

Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.

Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais dó, ré, mi, etc.

O seu nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites.

A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose.

Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos factores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir seu papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos favoreciam a expansão de cultos populares ou estrangeiros.

Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a sua alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar sua purificação. Dioniso guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.

Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim, portanto, uma coisa manifestaria externamente a sua estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor.

Biografia

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como referentes a suas viagens e a seus contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o Filósofo e matemático grego nasceu no ano de 571 a.C. ou 570 a.C. na cidade de Samos, fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental cujo principais enfoques eram: harmonia matemática, doutrina dos números e dualismo cósmico essencial.

Os pitagóricos (seguidores da escola Pitagórica) interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números - para eles o número (sinônimo de harmonia) era considerado como essência das coisas - é constituído então da soma de pares e ímpares , noções opostas (limitado e ilimitado) respectivamente números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação, criando a teoria da harmonia das esferas (o cosmos é regido por relações matemáticas).

A observação dos astros sugeriu-lhes a idéia de que uma ordem domina o universo. Evidencia disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas, por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contem as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou de seus discípulos (já que há obscuridades que cerca o pitagorismo devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo.

Foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C..

Principais descobertas

Apesar de todo o misticismo, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.

Os pitagóricos fizeram descobertas incríveis, e que até hoje impressionam. Eles viam números em todo o lugar.

Números triangulares e números quadrados

Números triangulares: Esses números formam triângulos equiláteros. Assim,

°
° °

°
° °
° ° °

°
° °
° ° °
° ° ° °

Seja $T_n$ o n-ésimo número triangular. Então,

$T_1 = 1$

$T_2 = 2 + 1 = 3$

$T_3 = 3 + (2 + 1) = 6$

$T_4 = 4 + (3 + 2 + 1) = 10$

$\ldots$

$T_n = T_{n-1} + n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Números quadrados: Esses número formam quadrados perfeitos. Então,

° °
° °

° ° °
° ° °
° ° °

° ° ° °
° ° ° °
° ° ° °
° ° ° °

Seja $Q_n$ o n-ésimo número quadrado. Então,

$Q_1 = 1$

$Q_2 = 4$

$Q_3 = 9$

$Q_4 = 16$

$\ldots$

$Q_n = n^2$

Assim, podemos determinar uma relação entre os números triangulares e os números quadrados. A soma de dois números triangulares consecutivos formam um número quadrado:

$T_2 + T_1 = Q_2$

$T_3 + T_2 = Q_3$

$T_4 + T_3 = Q_4$

$\ldots$

Resumindo temos:

$Q_n = T_n + T_{n-1} = n + 2T_{n-1}$

Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:

Os divisores de 6 são: $1, 2, 3$ e $6$ . Então, $1 + 2 + 3 = 6$ .
Os divisores de 28 são: $1,2,4,7,14$ e $28$ . Então, $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ .

Mas o que de fato deu fama aos pitagóricos foi a demonstração de um teorema, provavelmente o mais famoso da história da Matemática: O Teorema de Pitágoras que diz "Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos."

Teorema de Pitágoras

Ver também Teorema de Pitágoras

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Conta a lenda que, como prova de gratidão por ter demonstrado esse teorema, Pitágoras sacrificou 100 bois aos deuses.

Passos históricos

Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que Pitágoras terá seguido os seguintes passos:

Desenha-se um quadrado de lado $a + b$ ;
Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chama-se C à medida de cada diagonal;
A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a $a^2 + b^2$ ;
Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado $a + b$ , mas são colocamos os quatros triângulos retos noutra posição.

Assim, a área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a: $c^2$

Foi assim que Pitágoras chegou à conclusão de que: $a^2 + b^2 = c^2$ O segmento de medida C foi chamado de hipotenusa e os de medida A e B foram chamados de catetos.

Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era valido para qualquer triângulo reto.

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.

Uma demonstração do teorema adequada à nossa época

Por semelhança de triângulos:

$\frac{d}{a} = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a^2}{c}\quad (1)$

$\frac{e}{b} = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{b^2}{c}\quad (2)$

Da figura:

$c = d + e \,\!$

Substituindo pelas equações (1) e (2):

$c = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}$

Multiplicando tudo por c:

$c^2 = a^2 + b^2 \,\!$

O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:
$1^2 + 1^2 = x^2$
$x^2 = 2$ Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2". A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

Reitor da primeira universidade

A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas. Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (a² = b² + c²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 90º, 180º, 240º, 360º). Pitágoras (560(?) – 500(?) a.C.) nasceu na Ásia Menor, na ilha de Samos. Percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e quiçá Índia e Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. É oportuno lembrar a sua contemporaneidade com Tales,Buda, Confúcio e Lao-Tsé. Retornando a Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na Ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo". A Escola Pitagórica e suas atividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se:

prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;
lealdade entre os seus membros e distribuição comunitária dos bens materiais;
austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola;
proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que seus discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras. A palavra hecatombe que significa mortandade ou carnificina, deve sua etimologia ao grego: sacrifício de 100 bois);
purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;
classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis;
"criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons);
grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x2 = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;
na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades em suas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia de que há uma ordem que domina o Universo;
aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";
na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas:

Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a Geometria". Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos números”. A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verve de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.

Pensamentos de Pitágoras

Educai as crianças e não será preciso punir os homens.
Não é livre quem não obteve domínio sobre si.
Pensem o que quiserem de ti; faze aquilo que te parece justo.
O que fala semeia; o que escuta recolhe.
Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.
Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem.
Todas as coisas são números.
A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus.
A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus.
A vida é como uma sala de espectáculos: entra-se, vê-se e sai-se.

Importância para o Direito

Pitágoras foi o primeiro filósofo a criar uma definição que quantificava o objetivo final do Direito: a Justiça. Ele definiu que um ato justo seria a chamada justiça aritmética, na qual cada indivíduo deveria receber uma punição ou ganho quantitativamente igual ao ato cometido. Tal argumento foi refutado por Aristóteles, pois ele acreditava em uma justiça geométrica, na qual cada indivíduo receberia uma punição ou ganho qualitativamente, ou proporcionalmente, ao ato cometido; ou seja, ser desigual para com os desiguais a fim de que estes sejam igualados com o resto da sociedade.

Referências

Jacir J. Venturi, diretor de escola, professor da UFPR por 25 anos, da PUC-PR por 11 anos. Cidadão Honorário de Curitiba. Autor dos livros Álgebra Vetorial e Geometria Analítica e Cônicas e Quádricas. Site: www.geometriaanalitica.com.br

Pré-socráticos | matemáticos da Grécia | Geómetras

Gourt Home::Gourt :: Pitágoras

A escola de Pitágoras

Biografia

Principais descobertas

Números triangulares e números quadrados

Números perfeitos

Teorema de Pitágoras

Passos históricos

Uma demonstração do teorema adequada à nossa época

Reitor da primeira universidade

Importância para o Direito

Referências