As equações de Navier Stokes são equações diferenciais que descrevem o escoamento de fluidos. São equações a derivadas parciais que permitem determinar os campos de velocidade e de pressão.

Equações

---

$$

\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \left(\rho v_{x}\right)}{\partial x}+\frac{\partial \left(\rho v_{z}\right)}{\partial z}=0

$$

\rho \left(\frac{\partial v_{x}}{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{x}}{\partial x}+v_{z}\frac{\partial v_{x}}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x}-\left(\frac{\partial \tau _{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau _{zx}}{\partial z}\right)

$$

\rho \left(\frac{\partial v_{z}}{\partial t}+v_{x}\frac{\partial v_{z}}{\partial x}+v_{z}\frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right)=-\frac{\partial p}{\partial z}-\left(\frac{\partial \tau _{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau _{zz}}{\partial z}\right)+\rho g

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}ui+\; \backslash Sigma\; uj\backslash frac\{\backslash partial\; ui\}\{\backslash partial\; xj\}=V\; \backslash Delta\; ui-\backslash frac\{\backslash partial\; p\}\{\backslash partial\; xi\}+fi(x,t)$

Introdução

---

A equação de Navier-Stokes, denominada assim após Claude-Louis Navier e George Gabriel Stokes desenvolverem um conjunto de equações que descreveriam o movimento das substâncias fluidas tais como líquidos e gáses. Estas equações estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma partícula fluída são simplesmente o produto das mudanças na pressão e forças viscosas disipativas (similar a fricção) atuando em dentro do fluido. Esta força viscosa se originada na interação molecular e atuando como gavinhas para fluido. Portanto, a equação de Navier-Stokes é um equilíbrio dinâmico do balance de forces atuando em qualquer região do fluido.

Elas são um dos mais uteis conjunto de equações porque eles descrevem a física de um grande número de fenômenos de interesse econômico e acadêmico. Eles usados para modelar o clima, corrente oceânicas, fluxos da água em canos, movimentos das estrelas em dentro da galáxia, fluxo ao redor de aerofólios (asas). Elas também são usadas no projeto de aeronaves e carros, o estudo do fluxo sangüíneo, o projeto de usinas de força, a analise dos efeitos da poluição, etc. Juntamente com as equações de Maxwells elas podem ser usadas para a modelagem e estudos na magnetodiâmica.

As equaçõe de Navier-Stokes são equações diferenciais que descreve o movimento do fluido. Estas equações, diferentes das equações algébricas, não procuram estabelecer uma relação entre as variáveis de interesse (por exemplo. velocidade e pressão), ao invés disto elas estabelecem relações entre as taxas de variação ou fluxos destas quantidades. Em termos matemáticos estas razões correspondem a suas derivadas. Portanto, as equações de Navier-Stokes para o caso mais simples de um fluido ideal com viscosidade zero estabelece que a aceleração (a razão de variação da velocidade) é proporcional a derivada da pressão interna.

Isto significa que as soluções das equações de Navier-Stokes para um dado problema físico devem ser obtidas com a ajuda do calculo. Em termos práticos somente os casos mais simples podem ser resolvidos desta forma e suas soluções exatas são conhecidas. Estes casos freqüentemente envolvem fluxo não-turbulento em estado estacionário (o fluxo não varia como o tempo) no qual a viscosidade do fluido é grande ou sua velocidade pe pequena (número de Reynolds pequenos).

Para situações mais complexas, tais como um sistema de clima global como o El Niño ou a sustentação em uma asa, as soluções para a equação de Navier-Stokes freqüentemente devem ser encontradas com a ajuda de computadores. Este é um campo da ciência conhecido como dinâmica dos fluidos computacional.

Embora a turbulência seja um fenômeno de nossa experiência diária, é extremamente difícil encontrar soluções para esta classe de problemas. Um prêmio de 1.000.000 U$ foi oferecido em Maio de 2000 pelo o Instituo de matemática Clay para qualquer um que fizer progressos substanciais na direção de uma matemática teórica que possa ajudar a entender este fenômeno.

Suposições básicas

---

Antes de entrar nos detalhes da equação de Navier-Stokes, é necessário fazer várias suposições à cerca dos fluidos. A primeira que um fluido é continuo. Isto significa que ele não contém vazios, como por exemplo, bolhas dissolvidas no gás, ou que ele não consista de partículas como da neblina. Outra hipótese necessária é que todas as variáveis de interesse tais como pressão, velocidade, densidade, temperatura, etc., são diferenciavel (isto é, não tem transição de fase)

Estas equações são derivadas de princípios básicos de conservação da massa, momento, e energia. Para este objetivo, algumas vezes é necssário considerar um volume arbitrariamente finito, chamado de um volume de controle, sobre o qual estes princípios possas ser facilmente aplicados. Este volume é representado por $\backslash Omega$ e sua superfície de confinamento por $\backslash partial\; \backslash Omega$. O volume de controle permanece fixo no espaço ou pode mover-se como o fluido. Isto conduz, contudo, para considerações especiais, como será mostrado a seguir.

A derivada independente

---

As mudanças nas propriedades de um fluido em movimento pode ser medidas de duas formas diferentes. Isto será ilustrado através de um exemplo, utilizando a medição das na velocidade do vento na atmosfera. Uma forma de medir estas mudanças é com a ajuda de anemômetro em uma estação climática ou pela liberação de um balão atmosférico. Claro que o balão é mais indicado para medição da velocidade de todas as partículas que passa através de um ponto fixo no espaço, contudo no segundo caso o instrumento esta medindo mudanças na velocidade a medida que ele se move com o fluido. A mesma situação surge com medidas da mudança da densidade, temperatura, etc. Contudo, quando aplicamos uma diferenciação devemos diferenciar estes dois casos. A derivada de um campo com respeito a uma posição fixa no espaço é conhecida como espacial ou derivada de Euler. A derivação acompanhando o movimento de uma partícula é chamada de substantiva ou derivada Langragiana.

A derivada substantiva é definida pelo operador:

$\backslash frac\{D\}\{Dt\}(\backslash cdot)\; \backslash equiv\; \backslash frac\{\backslash partial(\backslash cdot)\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; (\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\backslash nabla)(\backslash cdot)$

onde $\backslash mathbf\{v\}$ é a velocidade do fluido. O primeiro termo do lado direito da equação é a derivada tradicional de Euler (isto é, a derivada com referência a um ponto fixo de referência) contudo o segundo termo representa as mudanças trazidas pelo movimento do fluido.

Leis de Conservação

---

As equações de Navier-Stokes são derivadas dos princípios da conservação da:

• Massa
• Energia
• Momento
• Momento Angular

Adicionalmente, é necessário assumir uma relação constitutiva ou lei de estado para o fluido.

Na sua forma mais geral, uma lei de conservação estabelece que a razão de mudança de uma propriedade continua $L$ definida em todo volume de controle deve ser igual aquilo que é perdido através das fronteiras do volume, carregado para forma pelo movimento do fluido, mais o que e criado/consumido pelas fontes e sorvedouros em dentro do volume de controle. Isto é expresso pela equação integral:

$\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; L\; \backslash ;\; d\backslash Omega\; =\; -\backslash int\_\{\backslash partial\backslash Omega\}\; L\backslash mathbf\{v\backslash cdot\; n\}\; d\backslash partial\backslash Omega+\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; Q\; d\backslash Omega$

Onde v é a velocidade do fluido e representa as fontes e sorvedouros no fluido.

Se o volume de controle é fixado no espaço então a equação integral pode ser expressa assim:

$\backslash frac\{d\}\{d\; t\}\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; L\; d\backslash Omega\; =\; -\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash nabla\backslash cdot\; (\; L\backslash mathbf\{v\}\; )\; d\backslash Omega\; +\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; Q\; d\backslash Omega$

Note que o teorema da divergência foi usado na dedução desta ultima equação de forma a expressar o primeiro termo do lado direito no interior do volume de controle Portanto:

$\backslash frac\{d\}\{dt\}\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; L\; d\backslash Omega\; =\; -\; \backslash int\_\{\backslash Omega\}\; (\backslash nabla\backslash cdot\; (\; L\backslash mathbf\{v\}\; )\; -\; Q)\; d\backslash Omega$

A expressão acima é válida para $\backslash Omega$, que é um controle de volume que permanece fixo no espaço. Devido a $\backslash Omega$ não variar no tempo, é possivel trocar os operadores "$\backslash frac\{d\}\{dt\}$" e "$\backslash int\_\{\backslash Omega\}^\{\}\; d\backslash Omega$". E como esta expressão pe valida para todos domínios, nos podemos além disto remover a integral.

A introdução da derivada substantiva, nos obtemos quando $Q\; =\; 0$ (nenhuma fonte ou sorvedouro):

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; L\; +\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash left(L\; \backslash mathbf\{v\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{D\}\{Dt\}L\; +\; L\; \backslash left(\backslash nabla\backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\backslash right)\; =\; 0$

Equação da continuidade

A conservação da massa é descrita assim:

$\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash rho\}\{\backslash partial\; t\}\; +$

\nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0

$$

=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\nabla\cdot\mathbf{v} + \mathbf{v} \cdot \nabla \rho

$$

=\frac{D \rho}{D t} + \rho \nabla \cdot \mathbf{v} = 0

onde $\backslash rho$ é a densidade de massa (massa por unidade de volume), e v é a velocidade do fluido.

No caso de um fluido incompressível, $\backslash rho$ não é uma função do tempo ou espaço a equação se reduz para:

$\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{v\}\; =\; 0$:

Conservação do momento

A conservação do momento é expressa de maneira similar à equação de continuidade, com o componente vetor do momento substitui o de densidade, e como um termo fonte para representar as forças que atuam no fluido.

Nos substituímos $\backslash rho$ na equação de continuidade com o momento rede por unidade de volume ao longo de uma direção em particular, , $\backslash rho\; v\_i$, onde $v\_i$ é o $i^\{th\}$ componente da velocidade, isto é, a velocidade ao longo das direções x, y, ou z.

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\backslash left(\backslash rho\; v\_i\; \backslash right)\; +\; \backslash nabla$

\cdot (\rho v_i \mathbf{v}) = \rho f_i .

$\backslash rho\; f\_i$ is the $i^\{th\}$ componente da força atuando no fluido (sempre força por unidade de volume. As forças comumente encontradas incluem a gravidade e gradientes de pressão. Isto também pode ser expresso como:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\backslash left(\backslash rho\backslash mathbf\{v\}\backslash right)\; +\; \backslash nabla(\backslash rho\backslash mathbf\{v\}\backslash otimes\backslash mathbf\{v\})\; =\; \backslash rho\; \backslash mathbf\{f\}$

Note que $\backslash mathbf\{v\}\backslash otimes\backslash mathbf\{v\}$ é um tensor, o $\backslash otimes$ representa o produto tensor.

Nos podemos simplificar isto mais, usando a equação de continuidade, obtendo:

$\backslash rho\backslash frac\{D\; v\_i\}\{D\; t\}=\backslash rho\; f\_i$

a qual é frequentemente escrita como:

$\backslash rho\backslash frac\{D\backslash mathbf\{v\}\}\{D\; t\}=\backslash rho\; \backslash mathbf\{f\}$

Na qual reconhecemos o usual F=ma.

A equação

---

Forma Geral

A forma das equações

A forma geral das equações de Navier-Stokes para a conservação do momento é:

$\backslash rho\backslash frac\{D\backslash mathbf\{v\}\}\{D\; t\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\backslash mathbb\{P\}\; +\; \backslash rho\backslash mathbf\{f\}$

onde $\backslash rho$ é a densidade do fluido, v é o vetor velocidade, e f é o vetor de força do corpo. O tensor $\backslash mathbb\{P\}$ representa as forças superficiais aplicadas na partícula fluida (o tensor tensão). Ao menos que o fluido possuía um grau de liberdade de rotação, tais como em um vórtice, $\backslash mathbb\{P\}$ é um tensor simétrico. Em geral, nos temos esta forma:

$\backslash mathbb\{P\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}$

\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} p&0&0\\ 0&p&0\\ 0&0&p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \sigma_{xx}+p & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_{yy}+p & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}+p \end{pmatrix}

onde os $\backslash sigma$ são a tensão normal, $\backslash tau$ tensão tangencial (tensão cisalhamento), e p é a pressão estática, associada como a parte isotrópica do tensor de tensão sem considerar se o fluido esta ou não em equilíbrio.

Finalmente, nos temos:

$\backslash rho\backslash frac\{D\backslash mathbf\{v\}\}\{D\; t\}\; =\; -\backslash nabla\; p\; +\; \backslash nabla\; \backslash cdot\backslash mathbb\{T\}\; +\; \backslash rho\backslash mathbf\{f\}$

onde $\backslash mathbb\{T\}$ é a somatória da diagonal principal de $\backslash mathbb\{P\}$.

Esta equação esta ainda incompleta. Para completa-la então, deve ser feita uma uma hipótese na forma de $\backslash mathbb\{P\}$, que é, uma necessária lei constitutiva para o tensor de tensão como mostrado abaixo.

O fluxo é tido como sendo diferenciavel e continuo, permitindo que as leis de conservação sejam expressas como equações diferenciais pariciais. No caso de fluidos incompressíveis (densidade constante), as variáveis a serem selecionadas são os componentes da pressão e velocidade. Os três componentes das equações de Navier-Stokes mais a conservação da massa (equação de continuidade) formam um sistema fechado de equações diferenciais parciais bem definidas para estas variáveis, que pode ser resolvido, em principio, para condições de contorno adequadas.

A equação pode ser convertida para equações de Wilkinson pelo uso de variáveis secundárias vorticidade e função de fluxo. A solução depende das propriedades do fluxo (tais como viscosidade, calor específico, e condutividade térmica), e das soluções de contorno do domínio de estudo.

Formas especiais

---

Estas são algumas simplificações usuais do problema para as quais algumas soluções são conhecidas.

Fluidos Newtonianos

Nos fluidos Newtonianos as seguintes hipóteses são válidas:

$p\_\{ij\}=-p\backslash delta\_\{ij\}+\backslash mu\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; v\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\}+\backslash frac\{\backslash partial\; v\_j\}\{\backslash partial\; x\_i\}-\backslash frac\{2\}\{3\}\backslash delta\_\{ij\}\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{v\}\backslash right)$

onde:

$\backslash mu$ é a viscosidade do fluido.

$\backslash delta\_\{ij\}$ é o delta Kronecker (1 for i=j; 0 for i $\backslash ne$ j).

Para entender como isto foi derivado, notemos primeiro que no equilibrio, p_ij=-pδ_ij. Para um fluido Newtoniano, a variação do tensor força covariante do valor de equilíbrio é linear no gradiente da velocidade. Ele obviamente não pode depender da própria velocidade devido a Covariância de Galileu. Em outras palavras, p_ij+pδ_ij é linear na $\backslash partial\_i\; v\_j$. O fluido que são considerados aqui são invariante rotacionalmente (isto é, eles não são cristais líquidos.

Fluidos Bingham

Nos fluidos de fluidos Bingham, nos temos algo ligeiramente diferente:

$\backslash tau\_\{ij\}=\backslash tau\_0\; +\; \backslash mu\backslash frac\{\backslash partial\; v\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\},\backslash ;\backslash frac\{\backslash partial\; v\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\}>0$

Estes são fluidos capazes de suportar algum força de cisalhamento antes de iniciar o fluxo. Alguns exemplos comuns são pasta de dente e massa de modelagem.

Fluidos Incompressiveis

A equação de Navier-Stokes são

$$

\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[ 2\mu\left(e_{ij}-\frac{\Delta\delta_{ij}}{3}\right)\right] Para conservação de momento e

$\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{v\}=0$

para conservação de massa.

onde

$\backslash rho$ é a densidade,

$u\_i$ ($i=1,2,3$) são os tres components da velocidade,

$f\_i$ forces que atuam no corpo (tais como a gravidade),

$p$ a pressão,

$\backslash mu$ a viscosidade dinâmica, de um ponto do fluido;

$e\_\{ij\}=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; u\_i\}\{\backslash partial\; x\_j\}+\backslash frac\{\backslash partial\; u\_j\}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash right)$;

$\backslash Delta=e\_\{ii\}$ é a divergência,

$\backslash delta\_\{ij\}$ é o delta Kronecker.

Se $\backslash mu$ é constante em todo o fluido, o momento da equação acima é simplificado para

$$

\rho\frac{Du_i}{Dt}=\rho f_i-\frac{\partial p}{\partial x_i} +\mu \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j\partial x_j}+ \frac{1}{3}\frac{\partial\Delta}{\partial x_i}\right)

Se agora adicionalmente $\backslash rho$ é assumido constante nos obtemos o seguinte sistema:

$\backslash rho\; \backslash left(\{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}+\; v\_x\; \{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}+\; v\_y\; \{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}+\; v\_z\; \{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\backslash right)=\; \backslash mu\; \backslash leftv\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; x^2\}+\{\backslash partial^2\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; y^2\}+\{\backslash partial^2\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; z^2\}\backslash right-\{\backslash partial\; p\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}\; +\backslash rho\; g\_x$

$\backslash rho\; \backslash left(\{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}+\; v\_x\; \{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}+\; v\_y\; \{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}+\; v\_z\; \{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\backslash right)=\; \backslash mu\; \backslash leftv\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; x^2\}+\{\backslash partial^2\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; y^2\}+\{\backslash partial^2\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; z^2\}\backslash right-\{\backslash partial\; p\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}\; +\backslash rho\; g\_y$

$\backslash rho\; \backslash left(\{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; t\}+\; v\_x\; \{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}+\; v\_y\; \{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}+\; v\_z\; \{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\backslash right)=\; \backslash mu\; \backslash leftv\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; x^2\}+\{\backslash partial^2\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; y^2\}+\{\backslash partial^2\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; z^2\}\backslash right-\{\backslash partial\; p\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}\; +\backslash rho\; g\_z$

Equação de continuidade (assumindo imcompressibilidade):

$\{\backslash partial\; v\_x\; \backslash over\; \backslash partial\; x\}+\{\backslash partial\; v\_y\; \backslash over\; \backslash partial\; y\}+\{\backslash partial\; v\_z\; \backslash over\; \backslash partial\; z\}=0$

Note que as equações de Navier-Stokes podem somente descrever o fluxo de um fluido aproximadamente, a uma escala extremamente pequenas ou sob condições extremas, fluidos reais são constituídos de uma mistura de moléculas discretas e outros materiais, tais como partículas em suspensão e gases dissolvidos, o que ira produzir resultados diferentes dos obtidos de um fluido continuo e homogêneo modelado pela equações de Navier-Stokes. Dependendo do número Knudsen do problema, a mecânica estatística deve ser uma abordagem mais apropriada. Contudo, as equações de Navier-Stokes são úteis para um grande número de problemas práticos, dentro de suas limitações.

Veja também

---

• Teorema de transporte de Reynold
• Número de Reynolds
• Número Mach
• Fluxo de Multifase

Referências

---

• Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR
• A.D. Polyanin, A.M. Kutepov, A.V. Vyazmin, and D.A. Kazenin, Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27237-8

Mecânica de fluidos

معادلات نافير-ستوك | Navier-Stokesova rovnice | Navier-Stokes-Gleichungen | Navier-Stokes equations | Ecuaciones de Navier-Stokes | Navierin–Stokesin yhtälöt | Équations de Navier-Stokes | Equazioni di Navier - Stokes | ナビエ-ストークス方程式 | Уравнения Навье — Стокса | Navier-Stokesove enačbe | Navier-Stokes ekvationer | 纳维-斯托克斯方程