Pertence ou não pertence

Se $\backslash ,\backslash !\; a$ é um elemento de $A\; \backslash ,\backslash !$, nós podemos dizer que o elemento $a\; \backslash ,\backslash !$ pertence ao conjunto $A\; \backslash ,\backslash !$ e podemos escrever $a\; \backslash in\; A$. Se $a\; \backslash ,\backslash !$ não é um elemento de $A\; \backslash ,\backslash !$, nós podemos dizer que o elemento $a\; \backslash ,\backslash !$ não pertence ao conjunto $A\; \backslash ,\backslash !$ e podemos escrever $a\; \backslash not\backslash in\; A$.

Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A\; \backslash ,\backslash !$ e $B\; \backslash ,\backslash !$ são conjuntos e todo o elemento $x\; \backslash ,\backslash !$ pertencente a $A\; \backslash ,\backslash !$ também pertence a $B\; \backslash ,\backslash !$, então o conjunto $A\; \backslash ,\backslash !$ é dito um subconjunto do conjunto $B\; \backslash ,\backslash !$, denotado por $A\; \backslash subseteq\; B$. Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ($A=B$). Se $A\; \backslash subseteq\; B$ e ao menos um elemento pertencente a $B\; \backslash ,\backslash !$ não pertence a $A\; \backslash ,\backslash !$, então $A\; \backslash ,\backslash !$ é chamado de subconjunto próprio de $B\; \backslash ,\backslash !$, denotado por $A\; \backslash subset\; B$. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por {} ou $\backslash emptyset$. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

União e Interseção

A união (ou reunião) de dois conjuntos $A\; \backslash ,\backslash !$ e $B\; \backslash ,\backslash !$ é o conjunto $A\; \backslash cup\; B$ composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $A\; \backslash ,\backslash !$ e $B\; \backslash ,\backslash !$.

A união de N conjuntos $S\; =\; S\_1\; \backslash cup\; S\_2\; \backslash cup\; S\_3\; \backslash cdots\; \backslash cup\; S\_N\; =\; \backslash cup\_\{i=1\}^N\; S\_i$ é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos $S\_i\; \backslash ,\backslash !$.

A interseção de dois conjuntos $A\; \backslash ,\backslash !$ e $B\; \backslash ,\backslash !$ é o conjunto $A\; \backslash cap\; B$ composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos $A\; \backslash ,\backslash !$ e $B\; \backslash ,\backslash !$.

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $\backslash aleph\_0$ (aleph zero), $\backslash aleph\_1,\; \backslash aleph\_2\; ...$.

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $|A|$. Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então $|A|=|B|$.

Conjunto potência ou de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado $A$ é chamado de conjunto potência (ou conjunto de partes) de $A$, denotado por $P(A)$ ou $2^A$. O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que $|A|\backslash le|P(A)|$.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

$A\; \backslash times\; B=\; \backslash \{(a,b)\; :\; a\; \backslash in\; A\; \backslash and\; b\; \backslash in\; B\backslash \}$

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

$A\; +\; B\; =\; A\; \backslash times\; \backslash \{0\backslash \}\; \backslash cup\; B\; \backslash times\; \backslash \{1\backslash \}$.

Exemplos de conjuntos compostos por números

---

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.

1. Números naturais são usados para contar. O símbolo $\backslash mathbb\{N\}$ usualmente representa este conjunto.
2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo $\backslash mathbb\{Z\}$ usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo $\backslash mathbb\{Q\}$ usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo $\backslash mathbb\{A\}$ ou $\backslash bar\{\backslash mathbb\{Q\}\}$ usualmente representa este conjunto.
5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo $\backslash mathbb\{R\}$ usualmente representa este conjunto.
6. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo $\backslash mathbb\{I\}$ usualmente representa este conjunto.
7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: $r\; +\; s\backslash imath$. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo $\backslash mathbb\{C\}$ usualmente representa este conjunto.

Conceitos relacionados

---

• Teoria dos conjuntos
• Multiconjunto
• Hiperconjunto

Teoria de conjuntos

مجموعة (رياضيات) | Мноства | Множество | সেট | Conjunt | Množina | Menge (Mathematik) | Σύνολο | Set | Aro | Conjunto | Hulk | مجموعه (ریاضی) | Joukko | Ensemble | קבוצה (מתמטיקה) | Halmaz | Ensemblo | Insieme (matematica) | 集合 | ಗಣ | 집합 | Aibė | Множество | Verzameling (wiskunde) | Mengde | Zbiór | Mulţime | Множество | Množina | Množica | Bashkësitë | Скуп | Mängd | Множина | 集合