Uma combinação, em análise combinatória, é o cálculo de quantas variedades de subconjuntos diferentes com $s\backslash ,\backslash !$ elementos existem em um conjunto $\backslash mathbb\{U\}\backslash ,\backslash !$, com $n\backslash ,\backslash !$ elementos. Só é usada quando não há repetição de membros dentro do conjunto.

De modo mais simples, é o cálculo de quantas combinações, grupos de $s\backslash ,\backslash !$ elementos diferentes em um grupo de $n\backslash ,\backslash !$ elementos diferentes, podem ser formadas.

Representação

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Pode ser representado de diversas formas.

• $C^s\_n\backslash ,\backslash !$
• $\backslash begin\{matrix\}\backslash end\{matrix\}\backslash ,\backslash !$
• $\{\}^nC\_s\backslash ,\backslash !$
• $\{C\}\{\backslash left(n,s\backslash right)\}\backslash ,\backslash !$

Fórmula

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A fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:

$C^s\_n=\backslash frac\{n!\}\{s!\backslash cdot\backslash left(n-s\backslash right)!\}\backslash ,\backslash !$

Dedução

O processo de dedução exige um conhecimento prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado.

Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com $s\backslash ,\backslash !$ elementos de $n\backslash ,\backslash !$, é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de $s\backslash ,\backslash !$ elementos de $n\backslash ,\backslash !$ existem.

$A^s\_n=\backslash frac\{n!\}\{\backslash left(n-s\backslash right)!\}\backslash ,\backslash !$

Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que hajam mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os $s\backslash ,\backslash !$ elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os $s\backslash ,\backslash !$ elementos podem ser arranjados.

$A^s\_s=s!\backslash ,\backslash !$

Sabendo o número de arranjos possíveis com $s\backslash ,\backslash !$ elementos de $n\backslash ,\backslash !$, e o número de vezes que cada combinação com $s\backslash ,\backslash !$ elementos de $n\backslash ,\backslash !$ se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.

$C^s\_n=\backslash frac\{\backslash frac\{n!\}\{\backslash left(n-s\backslash right)!\}\}\{s!\}\backslash ,\backslash !$

Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:

$C^s\_n=\backslash frac\{n!\}\{s!\backslash cdot\backslash left(n-s\backslash right)!\}\backslash ,\backslash !$

Triângulo de Pascal

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No Triângulo de Pascal, é possível encontar-se o valor de $C^s\_n\backslash ,\backslash !$ sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo, $s\backslash ,\backslash !$ é o número da coluna e $n\backslash ,\backslash !$, da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre binômios de Newton.

Regras

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Uma combinação $C^s\_n\backslash ,\backslash !$ só é possível quando

Veja também

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• Permutação
• Arranjo

Combinatória

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