Em matemática, associatividade é uma propriedade de operações binárias que diz respeito ao comportamento da operação, quando realizada em seqüência sobre os elementos do conjunto. Um operação é dita associativa quando a ordem pela agrupamos as operações, quando ela aparece mais de uma vez em uma expressão, é irrelevante.

É comum utilizar-se parentêses para separar a ordem das operações, por exemplo:

• $2\; +\; (3+6)\; =\; (2+3)\; +\; 6$

De uma forma mais abstrata a associatividade esta relacionada com a composição de funções em um conjunto. Quando colocada desta forma a propriedade de associatividade deixa de ser algo óbvio.

Definição

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Seja S um conjunto e f uma operação binária neste conjunto. Dizemos que f é uma operação associativa se:

$\backslash forall\; x,y,z\; \backslash in\; S\backslash quad\; f(x,f(y,z))\; =\; f(f(x,y),z)$

Note que é importante que f seja uma operação binária, para que o resultado de f(x,y) ainda pertença a S

Exemplos

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• A adição e multiplicação de números reais:

$$

\left. \begin{matrix} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\ (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \, \end{matrix} \right\} \mbox{para todo }x,y,z\in\mathbb{R}.

• A multiplicação de matrizes é associativa.
• As funções de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum são associativas:

$$

\left. \begin{matrix} \operatorname{mdc}(\operatorname{mdc}(x,y),z)= \operatorname{mdc}(x,\operatorname{mdc}(y,z))= \operatorname{mdc}(x,y,z)\ \quad \\ \operatorname{mmc}(\operatorname{mmc}(x,y),z)= \operatorname{mmc}(x,\operatorname{mmc}(y,z))= \operatorname{mmc}(x,y,z)\quad \end{matrix} \right\}\mbox{ para todo }x,y,z\in\mathbb{Z}.

Álgebra

Асоциативност | Asociativita | Associativitet | Assoziativgesetz | Associativity | Asocieco | Asociatividad | Liitännäisyys | Associativité | אסוציאטיביות | Associatività | 結合法則 | 결합 법칙 | Associativiteit | Łączność (matematyka) | Ассоциативная операция | Asociatívna operácia | Asociativnost | Associativitet | 结合律