Transformata Z jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu f*(t) jest nazywane przekształcenie postaci:

Z= Z[f(kT) = F(z)

i określane jest wzorem:

$F(z)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; f(kT)\; z^\{-k\}$

gdzie: F(x) - transformata oryginału; f(kT) - oryginał dyskretny; k=1, 2, ... .

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji f(k) = k! lub $f(k)\; =\; e^\{ak^2\}\; (a\; \backslash not\; =\; 0)$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

Własności

• Liniowość:

Z+ bf₂(kT) = aF₁(z) + bF₂(z)

• Przesunięcie w dziedzinie czasu:

$Z\backslash cdot\; 1(kT)=\; z^m\; \backslash leftF(z)\; -\; \backslash sum\_\{n=0\}^\{m-1\}\; f(nT)\; z^\{-n\}\; \backslash right$

gdzie m - dowolna dodatnia liczba całkowita; 1(kT) - funkcja skokowa.

• Transformata sumy:

$Z\backslash left\backslash sum\_\{n=0\}^\{m-1\}\backslash \; \backslash right=\; \backslash frac\{z\}\{z-1\}\; F(z)$

• Transformata różnicy

Z{f^* - f(kT)} = (z-1) F(z) - zf(0)

• Twierdzenie o wartości początkowej:

$\backslash lim\_\{k=0\}\; f(kT)\; =\; \backslash lim\_\{k=\backslash infty\}\; F(z)$

• Twierdzenie o wartości końcowej:

$\backslash lim\_\{k=\backslash infty\}\; f(kT)\; =\; \backslash lim\_\{k=1\}\; F(z)$

Tabela transformat

---

	$x(n)$	transformata-Z, $X(z)$	obszar zbieżności
1	$\backslash delta(n)\backslash ,$	$1\backslash ,$	$z\; \backslash in\; \backslash R\backslash ,$
2	$u(n)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{1-z^\{-1\}\}$	>z
3	$a^n\; u(n)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{1-a\; z^\{-1\}\}$	>z
4	$n\; a^n\; u(n)\backslash ,$	$\backslash frac\{az^\{-1\}\; \}\{\; (1-a\; z^\{-1\})^2\; \}$	>z
5	$-a^n\; u(-n-1)\backslash ,$	$\backslash frac\{1\}\{1-a\; z^\{-1\}\}$	>z
6	$-n\; a^n\; u(-n-1)\backslash ,$	$\backslash frac\{az^\{-1\}\; \}\{\; (1-a\; z^\{-1\})^2\; \}$	>z
7	$\backslash cos(\backslash omega\_0\; n)\; u(n)\; \backslash ,$	$\backslash frac\{\; 1-z^\{-1\}\; \backslash cos(\backslash omega\_0)\; \}\{\; 1-2z^\{-1\}\backslash cos(\backslash omega\_0)+\; z^\{-2\}\; \}$	>z
8	$\backslash sin(\backslash omega\_0\; n)\; u(n)\; \backslash ,$	$\backslash frac\{\; z^\{-1\}\; \backslash sin(\backslash omega\_0)\; \}\{\; 1-2z^\{-1\}\backslash cos(\backslash omega\_0)+\; z^\{-2\}\; \}$	>z
9	$a^n\; \backslash cos(\backslash omega\_0\; n)\; u(n)\; \backslash ,$	$\backslash frac\{\; 1-a\; z^\{-1\}\; \backslash cos(\; \backslash omega\_0)\; \}\{\; 1-2az^\{-1\}\backslash cos(\backslash omega\_0)+\; a^2\; z^\{-2\}\; \}$	>z
10	$a^n\; \backslash sin(\backslash omega\_0\; n)\; u(n)\; \backslash ,$	$\backslash frac\{\; az^\{-1\}\; \backslash sin(\backslash omega\_0)\; \}\{\; 1-2az^\{-1\}\backslash cos(\backslash omega\_0)+\; a^2\; z^\{-2\}\; \}$	>z

Zobacz też

• transformata Fouriera
• dyskretna transformata Fouriera
• transformata Laplace'a
• odwrotna transformata Laplace'a
• zmodyfikowana transformata Z

Automatyka | cyfrowe przetwarzanie sygnałów

Z-transformace | Z-Transformation | Z-transform | Transformada Z | Transformée en Z | Trasformata zeta | Z-transformatie | Z変換 | Z-transform | Z轉換