Transformatą Laplace'a funkcji $\backslash mathbb\{R\}\; \backslash ni\; t\; \backslash to\; f(t)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ nazywamy następującą funkcję $\backslash mathbb\{C\}\; \backslash ni\; s\; \backslash to\; F(s)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$:

$F(s)$

= \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim, w następującej formie:

$F(s)$

= \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace'a) jest zbieżna.

Funkcję $X\; \backslash ni\; f\; \backslash to\; \backslash mathcal\{L\}(f)$ nazywamy transformacją Laplace'a

Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty, a transformacji Laplace'a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace'a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace'a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace'a jest jedynie obrazem pewnej funkcji f(t) przez transformację Laplace'a.

Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace'a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.

Transformata Laplace'a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych.

Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a

---

Istnieje zawsze funkcja, która majoryzuje czyli ogranicza wykładniczo funkcję f(t): dla każdego t > 0 istnieje takie M oraz d, dla którego zachodzi zależność: |f(t)| < Me^dt

Własności

---

Liniowość

$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{a\; f(t)\; +\; b\; g(t)\; \backslash right\backslash \}$

= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Transformata pochodnej

$\backslash mathcal\{L\}\backslash \{f\text{'}\backslash \}$

= s \mathcal{L}(f) - f(0^+) gdzie $f\text{'}(0^+)$ oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t=0

$\backslash mathcal\{L\}\backslash \{f\text{'}\text{'}\backslash \}$

= s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0^+) - f'(0^+)

$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\; f^\{(n)\}\; \backslash right\backslash \}$

= s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - df\cdots - f^{(n - 1)}(0^+)

Pochodna transformaty

$\backslash mathcal\{L\}\backslash \{\; t\; f(t)\backslash \}$

= -F'(s)

Transformata całki

$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\; \backslash int\_0^t\; f(\backslash tau)\; d\backslash tau\; \backslash right\backslash \}$

= {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

Całka transformaty

$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\; \backslash frac\{f(t)\}\{t\}\; \backslash right\backslash \}\; =\; \backslash int\_s^\backslash infty\; F(\backslash sigma)\backslash ,\; d\backslash sigma$

Przesunięcie w dziedzinie transformaty

$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\; e^\{at\}\; f(t)\; \backslash right\backslash \}$

= F(s - a)

$\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\backslash \{\; F(s\; -\; a)\; \backslash right\backslash \}$

= e^{at} f(t)

Transformata funkcji z przesunięciem

$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\; f(t\; -\; a)\; 1(t\; -\; a)\; \backslash right\backslash \}$

= e^{-as} F(s)

$\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\; \backslash left\backslash \{\; e^\{-as\}\; F(s)\; \backslash right\backslash \}$

= f(t - a) 1(t - a) gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy

---

---

-.

Splot

$\backslash mathcal\{L\}\backslash left\backslash \{\backslash int\_0^t\; f(u)\backslash cdot\; g(t-u)\backslash ,du\backslash right\backslash \}$

= \mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \} Jest to tzw. Twierdzenie Borela o splocie.

Transformacja funkcji okresowej o okresie p

$\backslash mathcal\{L\}\backslash \{\; f\; \backslash \}$

= {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

Własności graniczne

$$

\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)

$$

\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)

Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji

---

$$

\mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\} = 1

$$

\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)\right\} = e^{-as}

$$

\mathcal{L}\left\{a\right\} = a\frac{1}{s}

$$

\mathcal{L}\left\{at\right\} = a\frac{1}{s^{2}}

$$

\mathcal{L}\left\{at^n\right\} = a\frac{n!}{s^{n+1}} \qquad dla \quad n = 0,1,2,3,....

$$

\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}

$$

\mathcal{L}\left\{\sin(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}

$$

\mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}

$$

\mathcal{L}\left\{\sinh(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}-a^{2}}

$$

\mathcal{L}\left\{\cosh(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}-a^{2}}

$$

\mathcal{L}\left\{t^ne^{at}\right\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}

$$

\mathcal{L}\left\{e^{at}\sin(bt)\right\} = \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}

$$

\mathcal{L}\left\{e^{at}\cos(bt)\right\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}

$$

\mathcal{L}\left\{\ln(at)\right\} = -\frac{\gamma + \ln(s) - \ln(a)}{s} gdzie $\backslash gamma$ - stała Eulera

Transformata odwrotna Laplace'a

---

Transformatą odwrotną funkcji $\backslash mathbb\{C\}\; \backslash ni\; s\; \backslash to\; F(s)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}$ nazywamy taką funkcję $\backslash mathbb\{R\}\; \backslash ni\; t\; \backslash to\; f(t)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$, która jest jej transformatą Laplace'a:

$\backslash mathcal\{L\}^\{-1\}\backslash left\backslash \{F(s)\backslash right\backslash \}\; =\; f(t)$ jeżeli $F(s)\; =\; \backslash mathcal\{L\}\; \backslash left\backslash \{f(t)\backslash right\backslash \}$

Zobacz też

---

• transformata Fouriera
• funkcja przejścia

Równania różniczkowe

تحويل لابلاس | Трансформация на Лаплас | Laplaceova transformace | Laplace-Transformation | Laplace transform | Transformada de Laplace | Vikipedio:Projekto matematiko/Laplaca konverto | Transformée de Laplace | Transformada de Laplace | 라플라스 변환 | Trasformata di Laplace | התמרת לפלס | Laplacetransformatie | ラプラス変換 | Transformada de Laplace | Laplaceova transformacija | Лапласова трансформација | Laplace-transform | 拉普拉斯变换