Tensor napięć-energii

Inaczej tensor energii-pędu jest tensor wymiaru 4x4, którego każda składowa określa strumień czteropędu przez (trójwymiarową) hiperpowierzchnię przecinającą czterowymiarową przestrzeń fizyczną. Aby obliczyć składową tego tensora w danym punkcie, bierzemy średnią (całkę) składowej a wektora czteropędu i dzielimy przez element hiperpowierzchni (przestrzeni) prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi b. Element ^*," target="_blank" >gdzie 1 <= a <= 3 to gęstość pędu (średnia wartość pędu w jakimś obszarze dzielona przez objętość tego obszaru), a część [a,b gdize a i b przyjmują wartości 1 do 3 to znany z techniki tensor napięć. Składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie, a pozadiagonalne, to tzw. napięcie (albo naprężenie). Duże naprężenia powstają np. w szyjce od szklanej butelki.

Wyprowadzenie

Wariacja grawitacyjnej całki działania
$\frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}=0$
względem tensora metrycznego (g^{μ ν}) daje równania Einsteina
R_{μ ν}-1/2 g_{μ ν} R +Λ g_{μ ν}=- κ T_{μ ν}
definiując tensor energii-pędu:
$T_{\mu \nu}=2\frac{\partial L_{m}}{\partial g^{\mu \nu}}-g_{\mu \nu}L_{m}$
gdzie L_m jest funkcją Lagrange'a opisującą meterię. Tensor energii pędu jest źródłem zakrzywienia czasoprzestrzeni.
W przybliżeniu kwaziklasycznym traktujemy materię kwantowo a pole grawitacyjnie w sposób klasyczny. W tym podejściu tensor energi-pędu zamieniany jest przez jego średnią która jest liczona zgodnie z prawiłami kwantowej mechaniki statystycznej
$T_{\mu \nu} \rightarrow < T_{\mu \nu} >$
Równania Einstaina przyjmuje postać
R_{μ ν}-1/2 g_{μ ν} R +Λ g_{μ ν}= - κ < T_{μ ν} >
Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego $=(\epsilon+P)u_{\mu}u_{\nu}-g_{\mu \nu}P$ gdzie u jest wektorem jednostkowym $u_{\mu}u^{\mu}=1$ , $\epsilon$ jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.
Dla przykładu, w płaskiej przestrzeni Minkowskiego g_{μ ν}=η_{μ ν}=diag(1,-1,-1,-1) wektor jednostkowy u^μ={1,0,0,0} i tensor energii-pędu ma postać macierzową
$T_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}\epsilon&0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P \end{pmatrix}$
Pełna informacja o układzie fizycznym musi jeszcze zawierać równanie stanu materii (EOS) czyli zależność cisnienia od gęstości materii
P = P(ε)
Zobacz też: równanie Einsteina
Teoria względności | Astrofizyka
Energie-Impuls-Tensor | Stress-energy tensor | Tensor de energía-impulso | Tenseur énergie-impulsion | Tensore energia impulso | טנזור מאמצים | エネルギー・運動量密度

Gourt Home::Gourt :: Tensor napięć-energii

Wyprowadzenie