Pole powierzchni, czyli potocznie po prostu powierzchnia jakiejś figury jest pojęciem matematycznym dość trudnym do precyzyjnego zdefiniowania.

Konstrukcja pojęcia pola

---

Najczęstsza definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

1. Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a\_1$.
2. Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n\_1$.

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach $a\_1>a\_2>a\_3>\backslash ldots$, itd. uzyskujemy ciąg liczb $n\_1,\; n\_2,\; ...$.
Polem powierzchni nazywamy granicę:

$S=\backslash lim\_\{i\; \backslash to\; \backslash infty\}n\_i~a\_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

{(x,y): 0

oraz

{(x,y): 0

mają obydwa pole powierzchni równe 1, mają pustą część wspólną, a ich suma (czyli wnętrze kwadratu) również ma pole równe 1.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dwóch rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie.

Definicja szkolna

---

Definicja używana w szkołach podstawowych i średnich.

1. Obieramy kwadrat o boku 1.
2. Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
3. Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Pole pod krzywą

---

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b jest równe całce oznaczonej

$S=\backslash int\_\{a\}^\{b\}|f(x)|dx$

Pola typowych figur

---

• Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi: $S=ab\backslash sin\{\backslash alpha\}$
  • Prostokąt o bokach a i b: $S=ab$
  • Kwadrat o boku a: $S=a^2$
• Elipsa o półosiach a i b: $S=\backslash pi\; ab$
  • Koło o promieniu r: $S=\backslash pi\; r^2$
• Wielokąt foremny:
  $S=\backslash frac\{nar\}\{2\}=nr^2tg\backslash frac\{\backslash pi\}\{n\}=\backslash frac\{1\}\{2\}nR^2sin\backslash frac\{2\backslash pi\}\{n\}=\backslash frac\{1\}\{4\}na^2ctg\backslash frac\{\backslash pi\}\{n\}$
  • Trójkąt równoboczny:

$S=\backslash frac\{\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}a^2$

Zobacz też: wzór Picka.

geometria

Plocha | Flächeninhalt | Area (geometry | Aire de surfaces usuelles | Площадь (геометрия)