Macierz

Macierz to - umownie rzecz ujmując - prostokątna tablica wielkości należących do pewnego ciała K lub pierścienia.

Jeżeli macierz ma n wierszy i m kolumn, to parę (n, m) nazywamy wymiarem macierzy.

Wielkości tworzące macierz nazywamy współczynnikami, wyrazami lub elementami macierzy.

Do wyrazów danej macierzy A odwołujemy się podając ich współrzędne: piszemy Aj wskazując na element stojący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie. Macierze często zapisujemy w postaci podkreślającej znaczenie jej wyrazów, na przykład: (a_ij) lub (a_ij)_{i≤n, j≤m} wskazując na wymiar macierzy.

Macierz, która ma tyle samo wierszy co kolumn (n = m), nazywamy kwadratową i mówimy, że jest stopnia n.

Definicja formalna

Macierzą A rozmiaru n x m nad ciałem K (o elementach z ciała K) nazywamy funkcję A:{1,...,n}x{1,...,m} -> K. Wartości tej macierzy A(i,j) oznacza się, przez a_ij i nazywa elementami; czasami też macierz oznacza się: A=^*_{m x n}

Przykład

Macierz

$A=\left[ \begin{matrix}
2 & 3 & 1 & 4\\
-1 & 5 & 0 & 1\\
2 & 2 & 9 & 1
\end{matrix}\right]$

ma wymiar "3 na 4". Mamy tutaj A= –1, A ^* = 9.

Zastosowania

Macierze mają liczne zastosowania w wielu dziedzinach matematyki (algebra liniowa). Jednym z ważniejszych jest znajdowanie rozwiązań układów równań liniowych Metodą Gaussa, lub przy pomocy wzorów Cramera. Za pomoca macierzy zapisuje się także obiekty geometryczne przestrzeni liniowych w fizyce (zob. tensor).

Macierzy używa się również w grafice trójwymiarowej, gdzie odpowiednio spreparowane macierze służą do różnych transformacji, np. obrotów, translacji, skalowań, za pomocą mnożenia przez tę macierz.

Przestrzeń macierzy

Zbiór macierzy ustalonego wymiaru (n, m) o wyrazach z ciała K ze zwykłym działaniem dodawania macierzy po współrzędnych tworzy grupę abelową. Jeżeli określić dodatkowo mnożenie macierzy (a_ij) przez skalar c∈K wzorem

c·(a_ij) = (c·a_ij),

to grupa ta staje się przestrzenią liniową nad ciałem K. Wymiar tej przestrzeni jest równy n×m. Elementem zerowym jest macierz zerowa.

Niektóre macierze

Działania na macierzach

Zobacz też

Macierze