Homomorfizm to funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie operacje. Jest to podstawowe narzędzie w badaniu i porównywaniu algebr.
Definicja
Niech A= i B= będą algebrami ogólnymi tego samego typu, zaś h : A → B funkcją przekształcającą zbiór A w zbiór B. Dla i=1,...,n niech a(i) będzie arnością operacji f(i) oraz g(i) (arności te muszą być równe, bo algebry A i B mają ten sam typ). Wtedy h jest homomorfizmem algebry A w algebrę B, jeśli dla każdego i=1,...,n oraz ciągu (x(1),...,x(a(i))) elementów zbioru A zachodzi równość h(f(i)(x(1),...,x(a(i))))=g(i)(h(x(1)),...,h(x(a(i)))). Oznacza to, że dla każdego i=1,...,n odwzorowanie h przeprowadza operację f(i) w operację g(i).
Homomorfizm, który jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym nazywamy izomorfizmem.
Przykład
Niech G= oraz H= będą grupami abelowymi oraz h : G → H. Załóżmy, że dla wszystkich a, b z grupy G zachodzi równość h (a + b) = h(a) +′ h(b). Wtedy h jest homomorfizmem grupy G w grupę H. Istotnie, h przeprowadza działanie grupowe + na działanie +′ na mocy powyższego założenia. Ponadto można łatwo pokazać, że h przekształca element neutralny względem działania grupowego w G (czyli 0) na element neutralny względem działania grupowego w H (czyli 0′), to znaczy ma miejsce równość h(0) = 0′. Podobnie, nietrudno wykazać, że dla każdego a ∈ G mamy h(–a) = –′ h(a).
Zobacz też
Algebra
Homomorfi | Homomorphismus | Homomorfism | Homomorphism | Homomorfismo | Omomorfismo | הומומורפיזם (אלגברה) | Homomorfisme | Homomorfismo | Гомоморфизм | Homomorfizem | Homomorfismi | Гомоморфізм
"Homomorfizm"