Gaz Fermiego, (gaz elektronowy Fermiego, gaz fermionów) jest to model opisujący idealny gaz kwantowy nieoddziałujących fermionów. Jest kwantowomechanicznym odpowiednikiem klasycznego gazu doskonałego dla cząstek podlegających statystyce Fermiego-Diraca. Zachowanie elektronów w metalach i półprzewodnikach, neutronów w gwiazdach neutronowych może być z pewnym przybliżeniem w niektórych sytacjach opisywane przez idealny gaz Fermiego.

Opis matematyczny

---

Cząsteczki gazu są w takiej sutuacji opisywane przez statystykę Fermiego-Diraca. Najprostszy hamiltonian dla takich nieoddziałujących fermionów w przestrzeni Focka można zapisać wykorzystując operatory kreacji i anihilacji:

$\backslash hat\{H\}=\backslash sum\_\{n\}\backslash epsilon\_\{n\}a^\{\backslash dagger\}\_\{n\}a\_\{n\}\; =\; \backslash sum\_\{n\}(E\; \_\{n\}\; +\; \backslash mu)a^\{\backslash dagger\}\_\{n\}a\_\{n\}$

gdzie

E_n - energia n-tego stanu

ц - potencjał chemiczny

Energia wewnętrzna gazu Fermiego

---

Do dalszych obliczeń przyjmiemy ц = 0.

Średnia liczba fermionów w gazie Fermiego:

$N\; =\; \backslash int\; \_\{0\}\; ^\{\backslash infty\}\; dE\; \backslash rho(E)\; \backslash frac\{1\}\{\backslash exp(\backslash beta\; E\; )\; +\; 1\}$

Gdzie

$\backslash rho(E)\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; V\; (2m)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\{h^\{3\}\}\; \backslash sqrt\{E\}$ - gęstość stanów

m - masa fermionów

h - stała Plancka

V - objętość, w której znajdują się fermiony

$\backslash frac\{1\}\{\backslash exp(\backslash beta\; E\; )\; +\; 1\}$ - rozkład Fermiego-Diraca

$\backslash beta\; =\; \backslash frac\{1\}\{k\_\{B\}T\}$ - czynnik Boltzmanna

$N\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; V\; (2m)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\{h^\{3\}\}\; \backslash int\; \_\{0\}\; ^\{\backslash infty\}\; dE\; \backslash sqrt\{E\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash exp(\backslash beta\; E\; )\; +\; 1\}$

Stosując proste podstawienie otrzymujemy:

$N\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; V\; (2m)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\{h^\{3\}\}\; \backslash beta\; ^\{-\backslash frac\{3\}\{2\}\}\; \backslash int\; \_\{0\}\; ^\{\backslash infty\}\; dx$

\frac{ x ^{ \frac{1}{2} } }{\exp( x ) + 1}

Wartością powyższej całki jest funkcja eta Dirichleta od 3/2 razy gamma Eulera od 3/2 $\backslash Gamma\; \backslash left(\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash right)\backslash eta\; \backslash left(\backslash frac\{3\}\{2\}\; \backslash right)$. Ostatecznie otrzymujemy:

$$

N = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{3}{2}}\Gamma \left(\frac{3}{2} \right) \eta \left(\frac{3}{2} \right)

Prowadząc analogiczne rozumowanie dla średniej wartości energii gazu Fermiego:

$U\; =\; \backslash frac\{2\backslash pi\; V\; (2m)^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\}\{h^\{3\}\}\; \backslash int\; \_\{0\}\; ^\{\backslash infty\}\; dE\; \backslash frac\{\; E^\{\backslash frac\{3\}\{2\}\}\; \}\{\backslash exp(\backslash beta\; E\; )\; +\; 1\}$

Otrzymujemy:

$$

U = \frac{2\pi V (2m)^{\frac{3}{2}}}{h^{3}} (k _{B}T) ^{\frac{5}{2}} \Gamma \left(\frac{5}{2} \right) \eta \left(\frac{5}{2} \right)

Podstawiając do powyższego równania wartość N, otrzymujemy:

$$

U =\frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } N k_{B}T \propto N k_{B} T

Czyli podobnie jak dla gazu klasycznego energia wewnętrzna jest wprost proporcjonalna do temperatury.

Ciśnienie gazu Fermiego

---

Ciśnienie możemy zdefiniować jako pochodną energii po objętości gazu, otrzymujemy stąd:

$p=\backslash frac\{\backslash partial\; U\}\{\backslash partial\; V\}$

= \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } \frac{\partial N}{ \partial V} k_{B}T

Ponieważ liczba cząstek jest liniową funkcją objętości otrzymujemy

$\backslash frac\{\backslash partial\; N\}\{\; \backslash partial\; V\}\; =\; \backslash frac\{N\}\{V\}\; =\; n$

Gdzie

n - liczba cząstek w danej objętości, nazywana koncentracją cząstek.

$$

p = \frac{5}{2} \frac{ \eta \left(\frac{5}{2} \right) }{ \eta \left(\frac{3}{2} \right) } n k_{B}T \propto n k_{B} T

Zobacz też: gaz fotonowy

Mechanika kwantowa

Fermi gas