Alternatywa wykluczająca, inaczej alternatywa rozłączna, XOR, kontrawalencja, różnica symetryczna to w logice jeden ze spójników zdaniowych. Alternatywa wykluczająca zdań $p\; \backslash dot\backslash or\; q$ jest prawdziwa tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań p bądź q jest prawdziwe.

Symbol alternatywy wykluczającej jako bramki logicznej:

Bramka log XOR.jpg

Tablica prawdy alternatywy wykluczającej:

p	q	$p\; \backslash dot\backslash or\; q$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Informatyka

---

W informatyce operację alternatywy wykluczającej stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Np.:

7 ^ 5 =      (w językach C/C++ alternatywę wykluczającą oznaczamy za pomocą symbolu ^)

= 0000111₂ ^ 00000101₂ =   (liczby w systemie binarnym)

= 0000010₂ =    (efekt operacji na kolejnych cyfrach)

= 2     (wynik w postaci dziesiętnej)

Własności

---

Ciekawe jest to, że dwuargumentowe działanie XOR zadaje na zbiorze, w którym jest określone, strukturę grupy abelowej. Dotyczy to w szczególności opisanej wyżej implementacji liczb naturalnych w języku C.

W szczególności:

• Operacja XOR jest przemienna:

$p\; \backslash dot\backslash or\; q\; =\; q\; \backslash dot\backslash or\; p$

• Operacja XOR jest łączna:

$(p\; \backslash dot\backslash or\; q)\; \backslash dot\backslash or\; r\; =\; p\; \backslash dot\backslash or\; (q\; \backslash dot\backslash or\; r)$

• Istnieje element neutralny; jest nim 0:

$p\; \backslash dot\backslash or\; 0\; =\; p$

• Dla każdego elementu istnieje element odwrotny; jest nim ten sam element:

$p\; \backslash dot\backslash or\; p\; =\; 0$

• $p\; \backslash dot\backslash or\; r\; \backslash neq\; q\; \backslash dot\backslash or\; r\; \backslash Leftrightarrow\; p\; \backslash neq\; q$

Warto pamiętać też że:

$p\; \backslash dot\backslash or\; q\; =\; (\backslash lnot\; p\backslash and\; q)\; \backslash or\; (p\backslash and\backslash lnot\; q)$

Godny zauważenia jest także fakt iż

$p\; \backslash dot\backslash or\; q\; +\; q\; \backslash dot\backslash or\; r\; \backslash geq\; p\; \backslash dot\backslash or\; r$

(nierówność trójkąta), co w połączeniu z przemiennością powoduje iż operacja XOR spełnia aksjomaty metryki.

Zobacz też

---

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• rachunek zdań
• prawa rachunku zdań
• alternatywa
• dysjunkcja
• implikacja
• koniunkcja
• negacja
• równoważność
• NAND
• NOR
• Algebra Boole'a

logika | Programowanie

Kontravalenz | Exclusive or | OU exclusif | Disgiunzione esclusiva | Exclusieve disjunctie | 排他的論理和 | Eksklusiv disjunksjon | XOR | XOR kapısı