Gourt Home::Gourt :: Złożenie funkcji
Składanie funkcji (superpozycja) to obliczanie jednej funkcji dla argumentu, który jest już wartością innej funkcji. Precyzyjnie: jeżeli dane są dwie funkcje, f:X → Y oraz g:Y → Z, to ich złożeniem gof nazywamy funkcję ze zbioru X w zbiór Z, której wartości obliczamy według reguły: (gof)(x)=g(f(x)).
Funkcję, która powstaje z innych funkcji w opisany wyżej sposób, nazywamy funkcją złożoną.
Należy zauważyć, że jeśli nawet można określić gof, to nie zawsze można określić fog. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy zbiory X, Y i Z są równe. A i wtedy gof jest na ogół inną funkcją niż fog.
Przykład
Jeżeli f(x)=2·x+1, a g(x)=x2, to (gof)(x)=(2·x+1)2=4x2+4x+1, natomiast (fog)(x)=2·x2+1. Jak widać, funkcje gof i fog są różne (oczywiście tutaj X=Y=Z=R).
Inne własności
Kolejne składanie trzech i więcej funkcji, o ile można je określić, ma własność łączności: oznacza to, że ho(gof)=(hog)of, co nietrudno sprawdzić bezpośrednio na podstawie definicji.
Jeśli f:X → X, to f można złożyć z samą z sobą - otrzymaną funkcję fof oznacza się wówczas f2. Analogicznie, f3=fofof itd.
W przypadkach uświęconych tradycją f2 często jest rozumiane inaczej, a mianowicie jako f(x)·f(x). W szczególności umowa ta dotyczy funkcji trygonometrycznych. Na przykład we wzorze: sin2x+cos2x=1 sin2x oznacza właśnie sin x·sin x. Nie prowadzi to jednak do nieporozumień.
Składanie funkcji jest jednym z najważniejszych działań na funkcjach - w naturalny sposób określa ono na wielu interesujących zbiorach funkcji strukturę półgrupy lub grupy. Przykładem może tu być grupa permutacji danego zbioru.
Zobacz też
Funkcje matematyczne | Teoria mnogości
Sammensat funktion | Komposition (Mathematik) | Function composition | Composition de fonctions | Composizione di funzioni | הרכבת פונקציות | Yhdistetty funktio | 复合函数
"Złożenie funkcji"